Catenoide

Una catenoide

Obtención de una catenoide a partir de la rotación de una catenaria

La catenoide fue la primera superficie mínima no trivial en el espacio euclidiano tridimensional que se descubrió aparte del plano. La catenoide se obtiene al rotar una catenaria sobre su directriz.[2] Fue encontrada y probado que era un mínimo por Leonhard Euler en 1744.[3][4] El primer trabajo sobre el tema fue publicado también por Jean Baptiste Meusnier.[5][4]^: 11106 Solo hay dos superficies mínimas de revolución (superficies de revolución que también son superficies mínimas): el plano y la catenoide.[6]

La catenoide se puede definir mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:

${\displaystyle x=c\cosh {\frac {v}{c}}\cos u}$

${\displaystyle y=c\cosh {\frac {v}{c}}\sin u}$

${\displaystyle z=v}$

donde:${\displaystyle u\in [-\pi ,\pi )}$ y ${\displaystyle v\in \mathbb {R} }$ y ${\displaystyle c}$ una constante real distinta de cero.

En coordenadas cilíndricas:

${\displaystyle \rho =c\cosh {\frac {z}{c}}}$

donde ${\displaystyle c}$ es una constante real.

Se puede formar un modelo físico de una catenoide sumergiendo dos anillos circulares en una solución jabonosa y separando lentamente los círculos.

La catenoide también se puede definir aproximadamente mediante el método de cuadrícula estirada como un modelo 3D facetado.

Animación que muestra un helicoide deformándose en un catenoide y vuelta a un helicoide

Como son miembros de la misma familia asociada de superficies, se puede doblar una catenoide en una porción de un helicoide sin estirarse. En otras palabras, se puede hacer (en su mayoría) una deformación continua e isométrica de una catenoide hasta una porción del helicoide de tal manera que cada miembro de la familia de deformación sea mínimal (teniendo una curvatura media de cero). Una parametrización de tal deformación es dada por el sistema:

${\displaystyle x(u,v)=\cos \theta \,\sinh v\,\sin u+\sin \theta \,\cosh v\,\cos u}$

${\displaystyle y(u,v)=-\cos \theta \,\sinh v\,\cos u+\sin \theta \,\cosh v\,\sin u}$

${\displaystyle z(u,v)=u\cos \theta +v\sin \theta }$

para ${\displaystyle (u,v)\in (-\pi ,\pi ]\times (-\infty ,\infty )}$, con parámetros de deformación ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$, donde:

${\displaystyle \theta =\pi }$ corresponde a un helicoide diestro,

${\displaystyle \theta =\pm \pi /2}$ corresponde a una catenoide, y

${\displaystyle \theta =0}$ corresponde a un helicoide zurdo.

• Hiperboloide

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Catenoid» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.

• Krivoshapko, Sergey; Ivanov, V. N. (2015). «Minimal Surfaces». Encyclopedia of Analytical Surfaces (en inglés). Springer. ISBN 9783319117737.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Catenoid», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
• Catenoid - WebGL model
• Euler's text describing the catenoid at Carnegie Mellon University
• mathcurve.com
• upc.es
• serge.mehl.free.fr