Coeficiente de Poisson

Figura 1: Un cubo con lados de longitud L de un material isótropo linealmente elástico sometido a tensión a lo largo del eje x, con una relación de Poisson de 0.5. El cubo verde está sin tensión, el rojo está expandido en la dirección x por ΔL. El cubo verde está sin tensión, el rojo está expandido en la dirección x por ΔL debido a la tensión, y contraído en las direcciones y y z por ΔL'

.

Para un cubo estirado en la dirección x (véase la figura 1) con un aumento de longitud de ${\displaystyle \Delta L}$ en la dirección x, y una disminución de longitud de ${\displaystyle \Delta L'}$ en las direcciones y y z, las deformaciones diagonales infinitesimales vienen dadas por

${\displaystyle d\varepsilon _{x}={\frac {dx}{x}}\qquad d\varepsilon _{y}={\frac {dy}{y}}\qquad d\varepsilon _{z}={\frac {dz}{z}}.}$

Si la relación de Poisson es constante a través de la deformación, integrando estas expresiones y utilizando la definición de la relación de Poisson se obtiene

${\displaystyle -\nu \int _{L}^{L+\Delta L}{\frac {dx}{x}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dy}{y}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dz}{z}}.}$

Resolviendo y exponenciando, la relación entre ${\displaystyle \Delta L}$ y ${\displaystyle \Delta L'}$ es entonces

${\displaystyle \left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{-\nu }=1+{\frac {\Delta L'}{L}}.}$

Para valores muy pequeños de ${\displaystyle \Delta L}$ y ${\displaystyle \Delta L'}$, se obtiene una aproximación de primer orden

${\displaystyle \nu \approx -{\frac {\Delta L'}{\Delta L}}.}$

Ahora se puede calcular el cambio relativo de volumen ΔV/V de un cubo debido al estiramiento del material. Usando ${\displaystyle V=L^{3}}$ y ${\displaystyle V+\Delta V=(L+\Delta L)\left(L+\Delta L'\right)^{2}}$:

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)\left(1+{\frac {\Delta L'}{L}}\right)^{2}-1}$

Utilizando la relación derivada anteriormente entre ${\displaystyle \Delta L}$ y ${\displaystyle \Delta L'}$:

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{1-2\nu }-1}$

y para valores muy pequeños de ${\displaystyle \Delta L}$ y ${\displaystyle \Delta L'}$, se obtiene la aproximación de primer orden:

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}\approx (1-2\nu ){\frac {\Delta L}{L}}}$

Para materiales isótropos podemos utilizar relación de Lamé[10]

${\displaystyle \nu \approx {\frac {1}{2}}-{\frac {E}{6K}}}$

donde ${\displaystyle K}$ es el módulo de compresibilidad y ${\displaystyle E}$ es el módulo de Young.

Figura 2: Comparación entre las dos fórmulas, una para pequeñas deformaciones, otra para grandes deformaciones

Si una varilla con diámetro (o anchura, o espesor) d y longitud L está sometida a tensión de forma que su longitud cambiará en ΔL entonces su diámetro d cambiará en:

${\displaystyle {\Delta d \over d}=-\nu {\frac {\Delta L}{L}}}$

La fórmula anterior sólo es válida en el caso de deformaciones pequeñas; si las deformaciones son grandes, puede utilizarse la siguiente fórmula (más precisa):

${\displaystyle \Delta d=-d\left(1-{\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)}^{-\nu }\right)}$

donde

• ${\displaystyle d}$ es el diámetro original
• ${\displaystyle \Delta d}$ es el cambio de diámetro de la varilla
• ${\displaystyle \nu }$ es la relación de Poisson
• ${\displaystyle L}$ es la longitud original, antes del estiramiento
• ${\displaystyle \Delta L}$ es el cambio de longitud.

El valor es negativo porque disminuye con el aumento de la longitud.

Si se toma un prisma mecánico fabricado en el material cuyo coeficiente de Poisson pretendemos medir y se somete este prisma a una fuerza de tracción aplicada sobre sus bases superior e inferior, el coeficiente de Poisson se puede medir como: la razón entre el acortamiento de una longitud situada en un plano perpendicular a la dirección de la carga aplicada, dividido en el alargamiento longitudinal producido. Este valor coincide igualmente con el cociente de deformaciones, de hecho la fórmula usual para el coeficiente de Poisson es:

${\displaystyle \nu =-{\frac {\varepsilon _{\rm {trans.}}}{\varepsilon _{\rm {long.}}}}}$

donde ε es la deformación.

Para un material isótropo elástico perfectamente incompresible, este es igual a 0,5. La mayor parte de los materiales prácticos en la ingeniería rondan entre 0,0 y 0,5, aunque existen algunos materiales compuestos llamados materiales augéticos que tienen coeficiente de Poisson negativo. Termodinámicamente puede probarse que todo material tiene coeficientes de Poisson en el intervalo (-1, 0,5), dado que la energía elástica de deformación (por unidad de volumen) para cualquier material isótropo alrededor del punto de equilibrio (estado natural) puede escribirse aproximadamente como:

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\rm {def}}\approx {\mathcal {E}}_{\rm {def}}+K\left(\sum _{i}\epsilon _{ii}\right)^{2}+G\sum _{i,j}\left(\varepsilon _{ik}-{\frac {\delta _{ij}\varepsilon _{V}}{3}}\right)^{2}+o(\epsilon _{ij}^{3})}$

La existencia de un mínimo relativo de la energía para ese estado de equilibrio requiere:

${\displaystyle K={\frac {E}{3(1-2\nu )}}>0,\qquad G={\frac {E}{2(1+\nu )}}>0}$

Esta última condición solo se puede cumplir si el coeficente de Poisson cumple ${\displaystyle 0<\nu <0,5}$.

Conociendo lo anterior se puede concluir que al deformarse un material en una dirección producirá deformaciones sobre los demás ejes, lo que a su vez producirá esfuerzos en todos los ejes. Por lo que es posible generalizar la ley de Hooke como:

${\displaystyle {\begin{cases}\varepsilon _{x}={\cfrac {1}{E}}\left[\sigma _{x}-\nu \left(\sigma _{y}+\sigma _{z}\right)\right]\\\varepsilon _{y}={\cfrac {1}{E}}\left[\sigma _{y}-\nu \left(\sigma _{x}+\sigma _{z}\right)\right]\\\varepsilon _{z}={\cfrac {1}{E}}\left[\sigma _{z}-\nu \left(\sigma _{x}+\sigma _{y}\right)\right]\end{cases}}}$

Es posible generalizar la Ley de Hooke (para fuerzas de compresión) en tres dimensiones:

${\displaystyle \varepsilon _{xx}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{xx}-\nu \left(\sigma _{yy}+\sigma _{zz}\right)\right]}$

${\displaystyle \varepsilon _{yy}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{yy}-\nu \left(\sigma _{xx}+\sigma _{zz}\right)\right]}$

${\displaystyle \varepsilon _{zz}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{zz}-\nu \left(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}\right)\right]}$

onde:

• ${\displaystyle \varepsilon _{xx}}$, ${\displaystyle \varepsilon _{yy}}$, y ${\displaystyle \varepsilon _{zz}}$ son las deformaciones en la dirección de los ejes ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ y ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \sigma _{xx}}$, ${\displaystyle \sigma _{yy}}$, y ${\displaystyle \sigma _{zz}}$ son el stress en la dirección de los ejes ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ y ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle E}$ es módulo de Young (el mismo en todas las direcciones: ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, y ${\displaystyle z}$ para materiales isotrópicos)
• ${\displaystyle \nu }$ es la relación de Poisson (la misma en todas las direcciones: ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ y ${\displaystyle z}$ para materiales isotrópicos)

Para materiales ortotrópicos (como la madera), el cociente entre la deformación unitaria longitudinal y la deformación unitaria transversal depende de la dirección de estiramiento, puede comprobarse que para un material ortotrópico el coeficiente de Poisson aparente puede expresarse en función de los coeficientes de Poisson asociados a tres direcciones mutuamente perpendiculares. De hecho entre las doce constantes elásticas habituales que definen el comportamiento de un material elástico ortotrópico, solo nueve de ellas son independientes ya que deben cumplirse las restricciones entre los coeficientes de Poisson principales y los módulos de Young principales:

${\displaystyle {\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}\qquad {\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}={\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}\qquad {\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}}$

Entonces la ley de Hooke se puede expresar en forma matricial como:[11][12]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$

donde

• ${\displaystyle E_{i}}$ es el Módulo de Young a lo largo del eje ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle G_{ij}}$ es el Módulo de cizalladura en dirección ${\displaystyle j}$ en el plano cuya normal está en la dirección ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \nu _{ij}}$ es la relación de Poisson que corresponde a una contracción en la dirección ${\displaystyle j}$ cuando se aplica una extensión en dirección ${\displaystyle i}$.

Los materiales transversalmente isótropos tienen un plano de isotropía en el que las propiedades elásticas son isótropas. Si suponemos que este plano de isotropía es ${\displaystyle y-z}$, entonces la ley de Hooke toma la forma[13].

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {yz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {zx}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xy}}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$

donde hemos utilizado el plano de isotropía ${\displaystyle y-z}$ para reducir el número de constantes, es decir, ${\displaystyle E_{y}=E_{z},~\nu _{xy}=\nu _{xz},~\nu _{yx}=\nu _{zx}}$.

La simetría de los tensores de tensión y deformación implica que

${\displaystyle {\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}={\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}~,~~\nu _{yz}=\nu _{zy}~.}$

Esto nos deja con seis constantes independientes ${\displaystyle E_{x},E_{y},G_{xy},G_{yz},\nu _{xy},\nu _{yz}}$. Sin embargo, la isotropía transversal da lugar a una restricción adicional entre ${\displaystyle G_{yz}}$ y ${\displaystyle E_{y},\nu _{yz}}$ which is

${\displaystyle G_{yz}={\frac {E_{y}}{2(1+\nu _{yz})}}~.}$

Por lo tanto, hay cinco propiedades elásticas independientes del material, dos de las cuales son relaciones de Poisson. Para el supuesto plano de simetría, el mayor de ${\displaystyle \nu _{xy}}$ y ${\displaystyle \nu _{yx}}$ es la mayor relación de Poisson. Las otras relaciones de Poisson mayor y menor son iguales.

Algunos materiales conocidos como augéticos presentan coeficientes de Poisson negativo. Cuando son sometidos a deformación positiva en sentido longitudinal, la deformación transversal también será positiva, es decir que aumentara el área de la sección. Para estos materiales, usualmente se debe a enlaces moleculares en orientación particular.[14]