Conjunto de soluciones (matemáticas)

Dada una aplicación f : A → B, la expresión f(x) = b determina una ecuación, en tanto consideremos a x como una indeterminada que pertenece al conjunto A.

El conjunto solución está constituido por todos los a ∈ A determinados que satisfacen la ecuación, es decir, aquellos para los cuales se cumple f(a) = b. Hay una sutil diferencia conceptual entre las notaciones

${\displaystyle f(x)=b,}$

${\displaystyle f(a)=b.}$

En la primera, x es un valor desconocido, del cual se sabe que está en A. La segunda involucra, si existe, un elemento conocido a de A que puede «reemplazarse» en la primera igualdad y transformarla en una identidad numérica.[3]

De modo análogo puede definirse el conjunto solución para las inecuaciones.

Si ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}}$ denota al conjunto de soluciones de la ecuación f(x) = b, la inecuación f(x) ≠ b tiene como solución el conjunto ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {\mathcal {S}}}\ =\,A\setminus {\mathcal {S}}}$, es decir, el complemento de ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}}$. Este contiene todos los elementos de A que no están en ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}}$.

Para otros tipos de desigualdades, como las relaciones < o >, se requiere que A y B sean conjuntos parcialmente ordenados con una relación de orden equivalente. Así, si ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ representa una relación de este tipo, la solución de ${\displaystyle f(x){\mathcal {R}}b}$ está constituida por los elementos de A que cumplen esa relación.

• Para |x+5|=7 tiene por conjunto de soluciones ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{-12,2\}}$ (tiene 2 soluciones).
• Para ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle x^{2}=-1}$ tiene por conjunto de soluciones ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\varnothing }$ (no tiene soluciones).
• Para ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle x^{2}=-1}$ tiene por conjunto de soluciones ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{-i,i\}}$ (tiene dos soluciones).
• Para ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \sin(\pi x)=1}$ tiene por conjunto de soluciones ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\left\{\textstyle 2k+{\frac {1}{2}}:k\in \mathbb {Z} \right\}}$ (infinitas soluciones).
• Para ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle x^{2}\leq 9}$ tiene por conjunto de soluciones ${\displaystyle {\mathcal {S}}=[-3,3]}$ (un intervalo).
• Para ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$, la ecuación en dos variables ${\displaystyle \textstyle {\frac {1-3y}{x-2y}}={\frac {2x}{2y-x}}+1}$ tiene como conjunto de soluciones ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{(t,t+1):t\neq -2\land t\in \mathbb {R} \}}$, que geométricamente puede representarse como una recta en el plano euclídeo,[4] con un «agujero» en el punto ${\displaystyle (-2,-1)}$. Este problema aparece porque ${\displaystyle 2y-x=0}$ es una expresión que conduce a una división por cero en la ecuación.
• Para f una función real que cumple ${\displaystyle f(1)=4}$, la ecuación diferencial ordinaria ${\displaystyle 3f(x)-xf'(x)=0}$ tiene como conjunto de soluciones ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\left\{4x^{3}\right\}}$.