Regulación automática

En este caso la señal de control solo se genera cuando el error[5] cambia de signo. El elemento final del control se mueve automáticamente entre una y otra de dos posiciones fijas,[6] para un valor único de la variable controlada

Este regulador permite limitar superior e inferiormente el valor de la variable controlada, pero no lo mantiene en las proximidades del valor de consigna.

control todo-nada con banda diferencial

La banda diferencial es una zona neutra. Mientras la variable controlada se mantenga dentro de la banda diferencial, el elemento final del control permanece fijo. Para errores significativamente positivos o negativos, el elemento final toma las posiciones extremas: abierto o cerrado. Los ajustes posibles del control se basan en variar el punto de consigna y la amplitud de la banda diferencial. En muchos aparatos esta última viene ajustada y fijada por el fabricante.

diferencial estático y diferencial dinámico

Un ejemplo típico de este caso sería el de un termostato que abre una válvula cuando la temperatura baja de un valor y la cierra cuando alcanza otro. La diferencia entre ambos valores es la banda diferencial o diferencial del termostato. La característica del regulador todo/nada con banda inactiva se puede ver en la figura de la izquierda.

Como los equipos tienen normalmente una inercia,[7] la amplitud del diferencial (diferencial estático) suele ser menor que la amplitud de oscilación de los valores reales de la variable controlada. A esta amplitud se la suele llamar diferencial dinámico o de funcionamiento.

El control todo-nada funciona satisfactoriamente si el proceso es lento, es decir, tiene una gran capacitancia,[8] y un tiempo de retardo[9] mínimo. De cualquier forma, la variable controlada no alcanza nunca el valor de consigna y oscila continuamente entre dos valores por debajo y por encima de este. Cuanto más lento sea el sistema o proceso a controlar más se puede disminuir el diferencial.

control flotante

Esta acción tiende a impedir la desviación de la variable controlada fuera de la zona muerta (diferencial estático) establecida. Una regulación todo-nada se puede convertir en una regulación flotante utilizando una válvula motorizada reversible de baja velocidad. La válvula está inmóvil mientras la variable controlada está dentro de la zona muerta y cuando la rebasa, la válvula se mueve en la dirección adecuada, hasta que la variable retorna al interior de la zona muerta. Entre los dos límites de esta zona, la válvula puede detenerse en cualquier posición. Los servomotores que mueven el elemento final de esta forma, se conocen como a tres puntos. Si se elige bien la velocidad, de forma que se compensen las perturbaciones, se pueden minimizar las oscilaciones de la variable controlada. Este sistema no es adecuado si el proceso a controlar tiene un retardo importante, o los cambios de carga, aunque sean pequeños, se producen rápidamente.

La figura representa una regulación de este tipo. En los espacios rayados, el elemento final está parado. Cuando el valor de la variable controlada supera el límite superior, el elemento final se mueve hacia el cierre y viceversa cuando el valor de la variable desciende por debajo del límite inferior.

El controlador de acción proporcional abre o cierra la válvula o elemento final de la regulación proporcionalmente al error o diferencia entre el valor de la variable controlada y el de consigna. La señal de control o magnitud de ajuste es proporcional a la señal de error:

Regulación proporcional de nivel de líquido

${\displaystyle \Delta y=K.\Delta x}$

El coeficiente de proporcionalidad ${\displaystyle K}$ recibe el nombre de ganancia o sensibilidad. El dispositivo controlado se posiciona proporcionalmente en respuesta a pequeños cambios de la variable controlada; no pasa de manera brusca de una posición máxima a otra posición mínima como ocurre en la acción todo/nada.

El mejor símil encontrado para explicar este tipo de regulación es el formado por un aljibe en el que se pretende controlar su nivel manteniendo un valor de consigna ${\displaystyle X_{s}=H}$ Cada vez que se produce una perturbación ${\displaystyle Z}$, es decir, cuando aumenta la salida de agua por la válvula ${\displaystyle V_{s}}$, el nivel disminuye, el flotador baja y la válvula ${\displaystyle V_{e}}$ se abre proporcionalmente aumentando el caudal de salida ${\displaystyle Y}$. Se obtiene una posición de equilibrio cuando ${\displaystyle Z=Y}$. Cuando ${\displaystyle Z=0}$ el nivel sube y el caudal ${\displaystyle Y}$ va disminuyendo hasta alcanzar el nivel HM en el que la válvula ${\displaystyle V_{e}}$ cierra completamente. Por el contrario, cuando ${\displaystyle Z}$ es máximo, la válvula ${\displaystyle V_{e}}$ está abierta completamente cuando el nivel llega a ${\displaystyle H_{m}}$ . Por supuesto, el fluido de carga ${\displaystyle Y}$ debe ser, al menos, igual a la perturbación máxima ${\displaystyle Z_{M}}$.

mejora del control por reducción de la Banda Proporcional

Entre ${\displaystyle H_{m}}$ y ${\displaystyle H_{M}}$ se obtiene un valor de ${\displaystyle Y}$ para cada valor de ${\displaystyle Z}$. La diferencia ${\displaystyle H_{M}-H_{m}}$ es la Banda Proporcional, que expresa la variación de la variable entre los estados totalmente abierta y totalmente cerrada de la válvula de regulación. Como puede verse, con este sistema no se mantiene el valor de consigna, sino que se obtienen valores estables entre ${\displaystyle H_{m}}$ y ${\displaystyle H_{M}}$. A cada uno de estos valores de ${\displaystyle H}$ le corresponde un único valor de ${\displaystyle Y}$, o lo que es lo mismo, una posición única de la válvula de regulación.

Entre el valor de consigna y el realmente obtenido hay siempre una diferencia o error residual (offset) característico de este sistema de regulación. Se puede minorar este error disminuyendo la banda proporcional, lo cual se conseguiría acercando la boya al eje de giro como indica la figura. Sin embargo, de esta forma se corre el riesgo de obtener un gran caudal de salida para una pequeña desviación del nivel, lo que puede dar lugar a una perturbación de sentido contrario, volviéndose inestable el bucle.

Tomemos un ejemplo más cercano, formado por el control de la temperatura ambiente de un local, atemperado mediante un radiador alimentado por agua caliente. El bucle de control estará integrado por un controlador, una sonda de ambiente y una válvula con motor proporcional a la entrada del agua caliente en el radiador. Si elegimos una banda proporcional de 4 °C y una temperatura de consigna de 22 °C, la temperatura ambiente oscilará entre 20 °C, cuando la válvula esté completamente abierta y 24 °C cuando esté completamente cerrada. Si se quiere mejorar la precisión se puede reducir la banda proporcional, por ejemplo a 2 °C, como se ve en la figura. Ahora la temperatura oscilará entre 21º y 23 °C. El límite de reducción dependerá de varios factores:

Resultado del control según la amplitud de la BP

• De la constante de tiempo del local.[10] Cuanto mayor sea esta menor podrá ser la banda proporcional.
• De la constante de tiempo de la sonda.[11] Cuanto mayor sea esta mayor tendrá que ser la banda proporcional.
• Del tiempo muerto entre la apertura de la válvula y el comienzo del aumento de temperatura del radiador. Cuanto mayor sea este, mayor ha de ser la banda proporcional.

También tiene influencia la característica de la válvula. El comportamiento de la regulación será diferente según la amplitud de la banda proporcional seleccionada. Ver imagen de la izquierda:

• ${\displaystyle X_{p}}$ demasiado amplia: la variable controlada alcanza muy lentamente un nuevo punto de equilibrio. La desviación del valor de consigna será grande.
• ${\displaystyle X_{p}}$ correcta: la variable controlada alcanza rápidamente el punto de equilibrio. La desviación del valor de consigna será pequeña.
• ${\displaystyle X_{p}}$ demasiado pequeña: la regulación fluctúa en exceso, comportándose como un todo/nada.

Banda proporcional y margen de ajuste

Existe una banda proporcional mínima por debajo de la cual el regulador actuará de forma parecida a un todo/nada.

En un controlador real existe un determinado margen de ajuste ${\displaystyle (Y)}$ que es el intervalo de valores que puede tomar la variable de operación o también podemos decir, la señal de salida. Teniendo en cuenta que:

${\displaystyle K={\frac {\Delta Y}{\Delta X}}}$

Evidentemente:

${\displaystyle K={\frac {Y}{X_{p}}}}$

Es decir, la ganancia es el coeficiente de proporcionalidad entre el margen de ajuste y la banda proporcional.

El inconveniente de la regulación proporcional es el offset, pero este no se puede eliminar por la propia concepción del sistema. El regulador integral consigue exactamente el valor consignado y se dice que es un regulador independiente de la carga. Un concepto intuitivo en la acción proporcional, es cambiar la consigna en el regulador para disminuir el Offset, pero si se hace demasiado pronto, no sólo no se elimina la desviación, sino que se crean oscilaciones importantes. Esta operación de corrección de la consigna permitiendo previamente la estabilización del sistema, es lo que hace el regulador integral. En el regulador integral existe una relación entre el error y la velocidad de variación de la magnitud de salida. Si el valor medido y el de consigna coinciden, la velocidad de ajuste se hace cero y el regulador se estabiliza. Dicho de otra forma, el órgano de control se moverá más deprisa[12] cuanto mayor sea el error. En este controlador el valor de la señal de control es proporcional a la integral de la señal de error:

${\displaystyle dY=K_{i}\int _{0}^{t}X_{d}.dt}$

Donde:

• ${\displaystyle K_{i}}$se denomina coeficiente de acción integral.
• ${\displaystyle dY}$ es la variación de la magnitud de ajuste
  

  Salida de regulación integral
• ${\displaystyle X_{d}}$ es el error o desviación
• ${\displaystyle dt}$ es un intervalo de tiempo

la velocidad de variación de la magnitud de ajuste será igual a:

${\displaystyle \psi ={\frac {dY}{dt}}}$

Que según hemos definido será proporcional al error:

${\displaystyle {\frac {dY}{dt}}=K_{i}X_{d}}$

Evolución de las variables controlada y operada ante una perturbación

Por lo que para hallar la magnitud de ajuste ${\displaystyle Y}$, deberemos integrar como indicamos al principio. De ahí el nombre que recibe este tipo de regulación y que da lugar a algunos malentendidos.

Como se puede observar en la gráfica de la figura superior, el valor de la salida permanece constante cuando la función vale cero[13] De todo esto se deduce que el regulador dará una señal variable hasta que la desviación sea nula, permaneciendo constante a partir de este momento. En el regulador integral, a diferencia del proporcional, cuando el error sea nulo, su salida o acción también será nula.[14] Si se compara la evolución de una función con la de su integral se comprueba que esta última varía más lentamente que la función, por lo que la acción integral es lenta pero muy precisa. El inverso del factor de acción integral es lo que se denomina tiempo de integración

${\displaystyle T_{i}={\frac {1}{K_{i}}}}$ minutos

La evolución temporal de las variables controlada y operada cuando se introduce una perturbación, con una regulación integral se ve en la figura de la izquierda.

Por ser la respuesta de la acción integral demasiado lenta se emplea muy raramente como regulador puro y suele emplearse en combinación con la acción proporcional.

La acción de control, en este caso, viene definida por la siguiente ecuación:

Salidas de las acciones P, I y PI por separado

${\displaystyle \Delta Y=K.\Delta X+K_{i}\int _{0}^{t}X_{d}.dt}$

donde ${\displaystyle K}$ es la ganancia.

Esta acción de control está compuesta por la suma de la acción proporcional y la acción integral. La acción proporcional suministra al dispositivo controlado una señal para corregir el error, siempre que este no sea nulo, y la acción integral tiende a eliminar el error residual (offset). Para evitar que por efecto de la acción integral, la salida del controlador devuelva valores extremos, esta acción solo participa cuando la variable controlada se encuentra dentro de la banda proporcional.

La figura refleja las variaciones de la señal de salida, debidas a cada acción por separado y a la suma de las dos. La primera gráfica muestra las oscilaciones de la variable controlada. En el primer tramo mientras la variable está por debajo de la banda proporcional, la acción proporcional dará una salida máxima (la válvula permanece totalmente abierta), mientras que la acción integral permanece en cero por estar fuera de la banda proporcional. En el segundo tramo la variable crece rápidamente, por lo que la acción proporcional responde cerrando la válvula hasta llegar al extremo de la banda proporcional en el que está totalmente cerrada y así permanece mientras la variable esté sobrepasando el extremo inferior de la Banda Proporcional. La última gráfica es la suma de ambas señales. Sin embargo esta relación entre la magnitud de regulación y la magnitud de ajuste es complicada y en la práctica para estudiarla se hace mediante la respuesta en escalón.

Respuesta en escalón

Para un regulador PI se deben seleccionar dos parámetros:

• La banda proporcional ${\displaystyle X_{p}}$
• La constante tiempo de integración ${\displaystyle T_{i}}$

Esta constante ${\displaystyle T_{i}}$ es el tiempo que va a tardar la acción ${\displaystyle I}$en producir la misma variación de la magnitud de ajuste ${\displaystyle \Delta Y}$ que se ha producido instantáneamente por la acción ${\displaystyle P}$ y se expresa en minutos.

Como ya dijimos que ${\displaystyle K_{i}}$y ${\displaystyle T_{i}}$ son inversas:

${\displaystyle T_{i}={\frac {1}{K_{i}}}\rightarrow K_{i}={\frac {1}{T_{i}}}\equiv }$Factor de acción Integral

las unidades del factor de acción integral son repeticiones por minuto, es decir, las veces que la componente de acción integral contiene a la componente de acción proporcional en un minuto.

Teniendo en cuenta la definición de ${\displaystyle T_{i}}$, resulta que en el dispositivo de regulación PI:

${\displaystyle \Delta Y_{p}=\Delta Y_{i}={\frac {\Delta Y_{pi}}{2}}}$

Siendo :

Tiempo de integración y Factor de acción integral

• ${\displaystyle \Delta Y_{p}}$ = variación de la magnitud de ajuste debida a la acción proporcional
• ${\displaystyle \Delta Y_{i}}$ = variación de la magnitud de ajuste debida a la acción integral
• ${\displaystyle \Delta Y_{pi}}$ = variación total de la magnitud de ajuste por ambas acciones

Para el tiempo de integración resulta:

${\displaystyle T_{n}={\frac {K}{K_{i}}}}$

Sustituyendo en la fórmula principal, se llega a:

${\displaystyle dY_{pi}={\frac {Y}{X_{p}}}{\Bigg (}\Delta X+{\frac {1}{T_{n}}}\int _{0}^{t}X_{d}.dt{\Bigg )}}$

Que es la misma ecuación del regulador ideal, pero en función del margen de ajuste ${\displaystyle Y}$, de la banda proporcional ${\displaystyle X_{p}}$ y del tiempo de integración ${\displaystyle T_{n}}$ . En ella se puede observar que una pequeña variación de la banda proporcional o del tiempo de integración puede originar una gran variación en la señal de salida ${\displaystyle Y_{pi}}$, por lo que se hace imprescindible el ajuste de estos parámetros, si no se quiere correr el riesgo de tener una regulación inestable. Debido a la acción proporcional se produce rápidamente una gran variación de la señal de salida. Después de esa variación rápida, se obtiene una corrección final más lenta, por la acción integral.

Si el tiempo de integración es demasiado largo (velocidad lenta), el sistema tardará mucho tiempo en eliminar la desviación del valor de consigna, si por el contrario es demasiado corto (velocidad rápida) el sistema corre el riesgo de fluctuar, igual que si se elige una banda proporcional demasiado estrecha.

La regulación PI resulta más exacta que la P, ya que no tiene ninguna desviación, pero además es muy adecuada para procesos con pequeños retardos (tiempo muerto+ constante de tiempo), como ocurre normalmente en la temperatura de aire en un conducto o de agua en una tubería. Si no es así, como ocurre con la temperatura ambiente, es más razonable aplicar un regulador P.

El regulador PID probablemente sea el diseño de control más empleado. "PID" son las siglas de Proporcional-Integral-Derivativo, y se refiere a los tres términos que operan sobre la señal de error para producir una señal de control. Matemáticamente es la combinación de los tres modos de control expuestos, es decir:

${\displaystyle dY=K.\Delta x+K_{i}\int _{0}^{t}X_{d}.dt+K_{d}.{\frac {dx}{dt}}}$

La contribución de cada una de las acciones es:

• La acción proporcional corrige la posición de la variable operada proporcionalmente al error (estabiliza la oscilación natural de la variable controlada).
• La acción integral corrige la posición de la variable operada con una velocidad proporcional al error. Al cabo de un tiempo elimina el offset.
• La acción derivativa corrige la posición de la variable operada proporcionalmente a la velocidad de variación del error para que, después de una variación de la carga, la variable controlada vuelva lo más rápido posible a su valor de consigna.

El control proporcional con acción integral tiene el inconveniente de no tener en cuenta la tendencia del error, es decir, no es capaz de distinguir una situación en la que el error está creciendo, de otra en la que está disminuyendo. La acción derivativa tiene en cuenta los valores futuros del error y es capaz de distinguir los dos casos. Hay procesos en los que puede ser perjudicial la acción derivativa, ya que puede originar una respuesta irregular, a saltos. En ese caso, la acción derivativa debe anularse y adoptar una acción PI. Para anular la acción derivativa basta con hacer igual a cero el parámetro ${\displaystyle T_{d}}$.

En los procesos en los que la acción D no sea perjudicial, la combinación de las tres acciones proporciona una respuesta rápida que alcanza el régimen de equilibrio en poco tiempo. Observando las gráficas de las acciones integral y derivativa se comprueba que tienen igual signo, pero como la acción derivativa se resta, hace que disminuyan las oscilaciones que causa la acción integral. Puesto que la acción D se estabiliza con valor 0, la combinación de ambas mantiene un valor que no es nulo, lo que demuestra que la acción derivativa contribuye a eliminar las oscilaciones de la acción integral sin impedir que se anule el error.

En los sistemas MIMO (múltiples entradas y salidas) se pueden asignar los lugares de los polos matemáticamente, usando una representación del espacio de estados del sistema en lazo abierto y calculando una matriz de realimentación que asigne a los polos sus posiciones deseadas. En sistemas complicados puede ser necesario un ordenador con capacidad de cálculo, y no siempre se puede asegurar la robustez de la solución. Más aún, en general no se miden todos los estados del sistema y por lo tanto se deben incorporar observadores al diseño del lugar de los polos.

El control óptimo es una técnica particular de control en la que la señal de control intenta optimizar una determinada función de coste: por ejemplo, en el caso de un satélite, el valor de flujo de los cohetes que permitan llevarlo a la trayectoria deseada con el mínimo consumo de combustible. En las aplicaciones industriales se han usado dos métodos de diseño de control óptimo, ya que se ha demostrado que pueden garantizar estabilidad en lazo cerrado. Son el Control por Modelo Predictivo (MPC) y el Control Gaussiano Lineal Cuadrático (LQG). El primero permite tomar en consideración restricciones aplicables a las señales del sistema, que en muchos procesos industriales es un requisito decisivo. Junto con los reguladores PID, los sistemas MPC son la técnica más usada en el control de procesos.