Cuadrado mágico

El cuadrado mágico de Alberto Durero, tallado en su obra Melancolía I está considerado el primero de las artes europeas. En el cuadrado de orden cuatro se obtiene la constante mágica (34) en filas, columnas, diagonales principales, y en las cuatro submatrices de orden 2 en las que puede dividirse el cuadrado, sumando los números de las esquinas, los cuatro números centrales, los dos números centrales de las filas (o columnas) primera y última, etc. y siendo las dos cifras centrales de la última fila 1514 el año de ejecución de la obra.

Algunas disposiciones particulares en el cuadrado mágico de Durero que suman la constante mágica.

Fachada de la Sagrada Familia

La Fachada de la Pasión del Templo Expiatorio de la Sagrada Familia en Barcelona, diseñada por el escultor Josep María Subirachs, muestra un cuadrado mágico de orden 4.

La constante mágica del cuadrado es 33, la edad de Jesucristo en la Pasión. También se ha atribuido la elección de este número como una velada alusión a la supuesta adscripción masónica, que nunca ha sido demostrada, de Antonio Gaudí, ya que 33 son los grados tradicionales de la masonería. Estructuralmente, es muy similar al cuadrado mágico de Melancolía, pero dos de los números del cuadrado (el 12 y el 16) están disminuidos en dos unidades (10 y 14) con lo que aparecen repeticiones. Esto permite rebajar la constante mágica en 1.

Estos cuadrados pueden generarse según el método publicado en 1691 por Simón de la Loubere, llamado a veces método siamés, país en el que desempeñó el cargo de embajador de Luis XIV, método ya conocido por los astrólogos orientales. Comenzando en la casilla central de la primera fila con el primer número, se rellena la diagonal quebrada con los siguientes en sentido NO (o NE). Completada la primera diagonal se desciende una posición y se rellena la segunda en el mismo sentido que la anterior, repitiéndose el paso anterior con el resto de diagonales hasta completar el cuadrado. Las Ternas pitagóricas y los Cuadrados mágicos se ordenan en forma precisa en los Cuadrados mágicos de orden impar

Obviamente, se podría haber comenzado en cualquiera de las casillas centrales de las filas o columnas perimetrales, siendo en cada caso la dirección de las diagonales hacia fuera del cuadrado y el sentido del desplazamiento una vez finalizada cada diagonal el dado por la posición relativa del centro del cuadrado respecto de la casilla inicial.

Resulta evidente que comenzando por cualquier otra casilla las sumas de las filas y columnas será la constante mágica, ya que la posición relativa de las cifras será la misma que en el caso anterior; sin embargo, en la diagonal paralela a la dirección de rellenado no se cumplirá esta condición (sí en la otra). De hecho, la particular elección de la casilla inicial responde a la necesidad de que en la diagonal paralela a la dirección de llenado se coloquen consecutivamente los cinco números centrales de la serie ya que cualesquiera otros cinco números consecutivos no sumarán la constante mágica.

Paso 1: Se escriben los números del 1 al n². Se escribe el 1 en la casilla superior del rombo y se seguirá de forma oblicua como se ve en este ejemplo. El cuadrado mágico será un cuadrado inscrito en el rombo que hemos formado.

Paso 2: Trasladamos los números de las esquinas del rombo a las casillas vacías que hay en el lado opuesto del cuadrado.

Paso 3: Quitamos las esquinas del rombo: ya tenemos un cuadrado mágico de orden impar.

Se construye un cuadrado con los números dispuestos consecutivamente (véase el segundo cuadrado de orden seis de la introducción), disposición en la que como sabemos, las sumas de las diagonales son la constante mágica. Una vez hecho esto, y conservando la submatriz central de orden n/2 y las cuatro submatrices de esquina de orden n/4 los números restantes se giran 180° respecto del centro del cuadrado, o si se prefiere se recolocan en orden decreciente (en ambos casos el resultado es el mismo).

Partiendo de la misma disposición y escogiendo patrones simétricos similares de las cifras a conservar pueden construirse cuadrados mágicos diferentes al obtenido antes, como el siguiente:

Para construir esta clase de cuadrados se puede usar el método LUX. En parte se basa en el método de la Loubere, que se usa en la construcción de cuadrados mágicos de orden impar (ver más arriba).

Como ejemplo, vamos a construir un cuadrado mágico de lado 10.

1º paso:

Vamos a agrupar las casillas en subcuadrados de 2x2, y cada uno de ellos lo etiquetaremos de la siguiente forma:

- Los cuadrados de las k+1 primeras filas, donde k es la división entera del tamaño del cuadrado entre cuatro, se etiquetan con la letra L (3 filas en este caso).

- Los cuadrados de la siguiente fila se etiquetan con la letra U.

- Los cuadrados de las filas restantes se etiquetan con la letra X.

Estas letras más adelante nos indicarán cómo rellenar cada subcuadrado de 2x2.

2º paso:

Se intercambia el cuadrado U central con el cuadrado L inmediatamente superior.

3º paso:

Etiquetaremos cada subcuadrado de 2x2 con un número siguiendo el método de la Loubere. De esta forma indicaremos el orden en el que se va a rellenar cada subcuadrado.

4º paso:

Ahora, al subcuadrado i-ésimo le corresponden los números 4i - 3, 4i - 2, 4i - 1 y 4i. Por ejemplo, al subcuadrado 10 le corresponden los números 37, 38, 39, y 40.

Solo nos falta saber cómo se colocan los cuatro números dentro de su subcuadrado correspondiente, y ahí entra en juego el etiquetado LUX.

Como puede verse, las letras recuerdan a la forma que hacen los números al colocarse en cada cuadrado.

Con todos estos elementos ya puede construirse el cuadrado:

Los cuadrados mágicos, se conocen desde la antigüedad y han sido empleados siempre en rituales de magia. Para el mago, los cuadrados mágicos expresan en diferentes planos, manifestaciones de la realidad espiritual, un conocimiento directamente aplicable en diversas formas. Las más frecuentes son:

• Valores numéricos obtenidos por diversas fórmulas, que pueden utilizarse para conocer cantidades y proporciones exactas para determinadas operaciones (por lo general deben cumplir ciertas normas).
• Signos que resultan de unir con líneas números concretos de un cuadrado mágico concreto. Tales signos se conocen como firmas y refieren a atributos (cualidades) de la potencia a invocar. Dichos signos deben ser revelados por la entidad a la que el cuadrado está destinado. Para usarlos luego, basta trazarlas con una tinta especial sobre casi cualquier superficie y realizar un sencillo ritual para solicitar sus atributos.
• El propio cuadrado mágico esotérico, grabado o realizado con materiales y fórmulas precisas y luego consagrados en un ritual (que consiste básicamente en oraciones), puede luego ser llevado consigo como talismán.

Por un lado se considera que cada ángel y demonio (en general denominados inteligencias, sin entrar en jerarquías) está en sintonía (influencia) con un cuadrado determinado, algo así a lo que hoy entendemos por resonancia. Por otro el trazo de líneas seguidas que resulta de recorrer en el orden correcto de los valores, así como otros órdenes más complejos, describen símbolos (firmas) asociados a entidades espirituales, donde en el ritual correcto, dibujar el signo con la tinta elaborada exprofeso de forma precisa, equivale a invocar al espíritu al que se hace referencia (llamándolo por su nombre), y donde el espíritu evocado está obligado a comparecer y/o a cumplir las virtudes asociadas al signo trazado.

En magia, invocar a una entidad por su nombre solo es posible si se conoce previamente su nombre y se pronuncia correctamente, lo que de alguna manera entraña ciertos riesgos. Con la multiplicidad de idiomas surge ese problema y por tanto la pronunciación correcta dejaría inutilizado todo conocimiento previo, si no se ha trasmitido con el mismo la correcta pronunciación de los nombres.

Por ello, la ventaja del procedimiento de los trazos del cuadrado mágico, lo hace universal. Aún desconociendo el nombre de un espíritu, utilizando correctamente el modelo del trazo se efectúa la invocación de los espíritus. Los cuadrados mágicos son empleados para establecer un llamamiento correcto a una entidad espiritual, marcando los trazos que dicha entidad tenga establecido para sí. Una vez comparezca la entidad puede reclamársele que exprese su nombre e incluso que le enseñe otros atributos que el mago desconoce sobre dicha entidad.

Hay dos acciones que en magia se distinguen claramente aunque coloquialmente suelen usarse indistintamente, es preciso diferenciarlas:

• Evocar: Es solicitar la presencia de una entidad, para que comparezca ante el mago. Allí donde está el mago una entidad hace manifiesta su presencia mediante sonidos, luces y sombras o formas más o menos corpóreas así como olores y sonidos bastante indescriptibles algunos.
• Invocar: Es solicitar que se cumpla una petición. La entidad no hace acto de comparecer, aunque el mago puede recibir impresiones internas de su manifestación. dichas manifestaciones en cambio no tienen por qué recibirlas otros asistentes en caso de haberlos.

También son usados sin requerir la presencia de las entidades referenciadas, mediante peticiones por escrito, si ya se conoce el efecto de los signos, en tal caso, basta trazar el signo y hacer uso de las oraciones pertinentes. También, cuando no se quieran usar signos o no se conozcan de modo más general, puede trazarse completamente el cuadrado que corresponda a la entidad que se quiera invocar, junto a alguno de sus nombres este es el caso de los llamados amuletos y talismanes.

Cuando se evoca o invoca a una entidad, puede hacerse uso de las propiedades (o poderes) que el ente espiritual tiene asignados. Partiendo del cuadrado mágico del que le es asociado, existen diferentes trazos que invocan a cada uno de sus poderes (atributos), y que recuerdan más a cualquier fórmula de oración propia de otras tradiciones o religiones.

Es común que una entidad tenga más de 1 nombre, ya que cada nombre suele hacer referencia a uno de sus atributos.

En la alta magia, la primera operación cuando una entidad concurre a la llamada es pedir que descubra al mago los diferentes trazos que le son propios, para que este con posterioridad pueda invocar sus poderes. Una vez conocidos estos, el mago tiene la obligación de guardar celosamente los mismos, cuidando que no caigan en manos afrentosas y a menudo el propio mago se cuida de alterarlos a voluntad (cifrarlos diríamos hoy) para que en tal circunstancia no puedan ser usados sin un conocimiento profundo tanto del trazo como de lo que suponen tales potencias.

Los rituales para invocar la ejecución de los poderes son relativamente fáciles una vez se conocen los trazos (atributos de la entidad), todos son una derivación del ritual principal de evocación, donde se remplaza la exigencia de comparecencia por la petición de lo que se desea en forma de oración, tanto en una como en otra se alaban las virtudes del ente y la confianza ciega de que cumplirá lo pedido, pactado o prometido. El ritual siempre conlleva medidas de protección contra inteligencias hostiles a la raza humana.

Los magos siempre han insistido sobre los aspirantes en la importancia de no intentar hacer uso de ellos, sin un conocimiento profundo teórico antes de pasar al práctico, bajo la pena de sufrir en su propia carne tormentos indescriptibles.

El cuadrado mágico, los signos derivados, etc... carecen de toda utilidad si el mago no lo fabrica siguiendo ciertas reglas sobre materiales a usar, aspectos zodiacales relativos a iniciar su elaboración, etc... así como sin los rituales finales de consagración y uso.

Cuando se porta un cuadrado mágico como talismán basta el ritual de consagración, los signos en cambio requieren un ritual de uso, ya que solo sirven para el uso a que se haya declarado y solo para esa vez. El tiempo que deba durar su efecto depende del uso a que se destina, por ejemplo si se reclama la comparecencia de un espíritu su duración es efímera, dura por tanto hasta que se despida a la entidad, en cambio si se usa por ejemplo para hacer crecer una planta, su efecto se prolonga algunos meses en el tiempo.

En general para efectos de larga duración se emplea el cuadrado mágico entero como talismán. Y para efectos inmediatos, suelen usarse los signos que se trazan sobre el cuadrado mágico. La evocación es más potente que la invocación pero también entraña elevados riesgos para el mago, especialmente para el aspirante a mago que puede dejarse fácilmente impresionar y sucumbir a las exigencias de la entidad, especialmente si la entidad que comparece es hostil a la raza humana o una entidad se hace pasar por otra y el mago o el aspirante a mago no toma las medidas necesarias.

Nota: para apreciar las comparaciones, para los cuadrados mágicos esotéricos, se ha tomado otros colores, diferentes a los empleados hasta aquí.

Un cuadrado mágico esotérico, utiliza criterios más restrictivos en cuanto a condicionantes para ser tenido por un cuadrado mágico, tanto es así, que solo existe uno por cada n. A fin de reconocer cuáles son esotéricos y cuáles no (o siendo equivalentes reducirlos a su expresión correcta) es importante conocer las propiedades que los relacionan e identifican.

• La propiedad de equivalencia establece que 2 o más cuadrados son semejantes si todas sus casillas varían en la misma proporción, el esotérico, no puede ser cualquiera, sino solo 1, tal como se expresa en su apartado, pero que puede ser reducido al cuadrado mágico esotérico equivalente.
• La propiedad de las esquinas propone un método rápido de descartar cuadrados mágicos si no cumplen dicha propiedad, los que pasen la criba no pueden todavía ser admitidos.
• Las propiedades del centro, posicionales y diagonales tiene por objeto aprender a reconocer cuadrados mágicos esotéricos, así como a fabricarlos.

En sentido esotérico, solo se considera cuadrado mágico, a aquellos que tienen las mismas cifras que el número de casillas (que siguen la serie de números naturales desde 1 hasta n²). El cuadrado de la figura (color naranja, a la izquierda) no es un cuadrado mágico esotérico. En este caso es el resultado de un cuadrado mágico de n=3 a cuyas cifras se le ha sumado 20, comparar con el original (color naranja a la derecha) de n=3, viendo la ubicación de las cifras y su concordancia.

• En sentido esotérico, un cuadrado mágico, debe reunir unas condiciones de suma de sus esquinas (que llamamos Cifra mágica-2, o de segundo orden). Explicación de como se halla:

• Si llamamos Composición al sumatorio de los números que componen el cuadrado mágico: C= sum (1+2+3....), o también C= ((n²+1)×(n²/2)...

• ...y si llamamos Número base (Nb) a la Composición dividida entre el número de casillas que componen el cuadrado, tendremos que Nb= C / (n²). El número base también puede calcularse de la siguiente manera: Nb= (n²+1)/2 (obsérvese en la tabla adjunta más abajo la relación de sus cifras entre ambas columnas donde Nb es casi la mitad de n² ). El número base en un cuadrado mágico esotérico de n= impar siempre aparece en la casilla central, lo que en cierto modo ayuda a reconocer y rechazar de un simple vistazo los que no cumplan dicha condición. (Véase la sección propiedades posicionales más abajo para más detalles).

• También obtenemos la Cifra mágica, al multiplicar el Número base por n Cm=Nb×n (o a la inversa, obtenemos Nb, al dividir la Cifra mágica entre n Nb= Cm/n).

Y siendo Cifra mágica-2 la suma de las esquinas entonces: Cm2= r+s+t+u

Entonces Cm², la suma de las esquinas Cm2= Cm - (Nb( n-4))

O también (partiendo de que Cm=Nb×n): Cm2= Nb×n - (Nb(n-4)).

O reduciendo: Cm2= 4Cm / n.

Se señalan en los dibujos las casillas de esquina, para cuadrados de n=4 y n=3

• Se deduce que si el cuadrado tiene menos esquinas de 4, entonces dicha cifra es sumada, que si es mayor de 4 esquinas, la cifra es restada. Para el caso de 4 esquinas exactas, ni se suma ni se resta, o bien se suma y se resta, (como prefiera ser considerado).

• Podemos comprobar que en el cuadrado mágico de 4 la suma de las 4 esquinas Cm² =Cm (Cifra mágica2= Cifra mágica).

También la suma de las cifras de las 4 casillas que forman una cruz (las que están en el medio entre dos esquinas adyacentes), suman Cm². La particularidad de n=par_impar produce dos casos.

• Para el caso de n=impar: Cm2= C +R +U +Z (dibujo de la izquierda).

• Y para el caso de n=par las dos casillas adyacentes que forman la cruz en las mismas condiciones, solo que en este caso al ser dos grupos de 4 casillas, es dos veces CM; =2 Cm²): Cm2=(C1 +C2 +R1 +R2 + U1 +U2 +Z1 +Z2 )/2 (dibujo de la derecha).

Se muestran un cuadrado de n=3 para ejemplo de caso impar, y uno de n=6 para ejemplo de caso par. Obsérvese que del caso par, se toman las dos casillas centrales de CRUZ, razón, por la que hay que dividir luego entre dos.

• Se ha remarcado en la tabla el ejemplo mostrado sobre el cuadrado mágico con el caso de n= 7: al aplicar C=1225; Nb=25; Cm= 25×7=175; Cm²= 175- (25(7-4)=100

• Se puede comprobar Cm²=R+S+T+U, (las esquinas, en amarillo 22 + 4 + 46 + 28 ) = 100

• Igualmente se puede comprobar Cm²=C+R+U+Z,(los centros en cruz, en oscuro 41 + 13 + 9 + 37 ) = 100

Es decir C+R+U+Z=R+S+T+U

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• Puede entenderse que el cuadrado de 1, no tiene 4 esquinas, y sin embargo su cifra mágica-2, es 4, al no poder sumar más que 1, queda fuera de ser un cuadrado mágico esotérico.
• El cuadrado de dos, si tiene 4 esquinas, pero su cifra mágica-2 arroja un resultado de 10, lo cual es imposible que resulte. Se explica más arriba en este artículo, por qué un cuadrado mágico de n=2, no lo es (Cm no resulta), y aquí además porqué no es esotérico.

En un cuadrado mágico esotérico también se cumple la siguiente condición (además de todo lo anteriormente explicado):

* En los casos impares: Obtenemos la Cifra Mágica-2 en los cuadrados mágicos esotéricos al multiplicar el valor central de la casilla por 4

* En el caso de los cuadrados pares: Obtenemos la Cifra Mágica-2 con la suma de sus 4 casillas centrales ( al igual que sucede con los centros en cruz explicados más arriba en que deben tomarse 2).

Es decir el 'peso específico' del centro se mantiene en equilibrio. Si quisiéramos usar una fórmula general sería esta: la media de las casillas centrales * 4. Dado que los casos impares no tiene una casilla central como única, debe considerarse el menor caso que reúna esa condición, siendo siempre 4 casillas.

Se puede comprobar con el ejemplo de 7 casillas de más arriba, o con el de 3, etc.

Por la que se considera a un cuadrado mágico esotérico que está ordenado cuando se cumplen además otras condiciones que son ligeramente distintas en los cuadrados de n-par sobre los de n-impar. (el mismo cuadrado rotado o reflejado, deja de ser ordenado aunque no deja de ser esotérico.

1. n-impar: Nb ocupa la casila central. La cifra mayor está encima de la casilla central y la inferior debajo.La esquina r está ocupada por la cifra Nb-(n/2-(1/2)) y la opuesta u por lacifra Nb+(n/2-(1/2)). La esquina s está ocupada por la cifra n/2+(1/2) y la casilla opuesta t, por 2×Nb- (la cifra de s), o lo que es igual, por la cifra mayor del cuadrado mágico, - (n/2-(1/2)).

Diagonales: La diagonal que va desde la esquina superior izquierda hacia la esquina inferior derecha siempre lleva sus casillas numeradas correlativamente. La otra diagonal lleva sus casillas numeradas en saltos de n comenzando justamente por (n +1)/2

1. n-par: La casilla r (la 1.ª), es ocupada por la cifra n, la cifra 1 ocupa la casilla s, y la última cifra, la diagonal t, y la casila u=t+s-r.Al ser par, no existe casilla central, y por lo mismo Nb, no es entero, y no ocupa casilla.

Diagonales: la 1.ª diagonal lleva las casillas numeradas en saltos de n -1 empezando por n y la otra diagonal lleva las casillas numeradas en saltos de n +1 empezando por 1 y acabando en n².

Se verifica que la suma de dos casillas diametralmente opuestas siempre suman n² + 1. Se aplica por igual a los casos de n= impar como a los casos de n=par, siendo solo diferente, que para el caso impar el centro es una casilla y para el caso par no hay casilla definida

Para no saturar su comprobación se ilustran solo cuatro ejemplos denominados a, b, c, d con su correspondiente diametralmente opuesto respecto del centro (que se ha dejado a propósito).

Puede verificarse con los valores del cuadrado de la derecha. Siendo: DI= n² + 1= 7² + 1= 50 se demuestra que: para a DI= 47 + 3= 50, para b DI=42 + 8= 50, para c DI=6 + 44= 50, para d DI=31 + 19= 50...

Puede verse entonces que la propiedad de las esquinas es una consecuencia natural derivada de esta. Esta propiedad junto con las propiedades posicionales proporcionan todas las reglas necesarias para elaborar una fórmula general con la que elaborar cuadrados mágicos esotéricos de cualquier tamaño que se aborda un poco más abajo.

• Hay equivalencias entre las cifras de los cuadrados mágicos esotéricos y las letras del alfabeto hebreo, considerado por los cabalistas, de modo que solo cuando se aplica al cuadrado adecuado, puede tomarse correctamente el resultado cabalístico, siendo inexacto las conclusiones si se toma el cuadrado mágico equivocado.

Las reglas particulares, así como esta general, ha sido desconocida por muchos que a lo largo de los tiempos trataron de desentrañar sus misterios o de desenmascarar sus mentiras, es por ello que los estudios de aquellos que ignoraron tales cuestiones carecen de validez, pues la palabra tomaba el número de acuerdo a las reglas de este para interpretar la palabra, y no la palabra se convertía en número para interpretar la palabra, como tales pretendían. Así como las palabras tenían sus reglas, también las tenían los números, y era así como se convertía en sagrada su interpretación, pues no bastaba con conocer los números si no se conocían sus reglas, igual que no basta para comprender un idioma, aunque se conozcan sus letras, si se desconocen sus reglas....

• Es de señalar que sin embargo, a pesar de lo indicado más arriba en el artículo, los mencionados como cuadrados satánicos, estrictamente en sentido esotérico, no son tenidos por tales si no tan solo el cuadrado de lado 6 esotérico, ya que la suma de sus cifras (Composición), suma 666. Y es en donde los cabalistas buscan o debieran buscar el número de la Bestia tal como se menciona en la Biblia.

• El proceso de elaborar cuadrados mágicos esotéricos se aborda en 2 fases. como se ha venido viendo a lo largo del artículo, los casos de n par o impar conllevan situaciones que requieren diferente trato.
• De entrada y por abreviar acordamos llamar a cada diagonal con los siguientes símbolos: diagonal directa (arriba izquierda hacia abajo derecha) con lo llamaremos d \. Diagonal inversa (arriba derecha hacia abajo izquierda) lo llamaremos d /
• Lista de figuras: para reconocer mejor el cambio operado en cada paso se ha despejado el cuadrado de todo lo no necesario para entender el paso, por dicha razón a cada paso no necesariamente se va acumulando los valores ya obtenidos.

Para explicar cómo elaborar un cuadrado mágico esotérico de lado impar, previamente decidimos n que para el ejemplo será 9

Siendo n=9 calculamos el n.º de casillas n²=9*9=81 y a su vez calculamos NB con cualquiera de las fórmulas que se dieron anteriormente, al caso NB = (n²+1) /2=41. NB no precisa ser calculado en este instante, sin embargo sirve de verificación para constatar que se trata de un cuadrado mágico esotérico y no de otro cualquiera.

• Se muestra el cuadrado vacío y donde irán los valores 1, NB y n² como se indica en propiedades posicionales más arriba en el artículo. (ver figura-1 ). Se hace notar la importancia estratégica de NB, que se emplea en el paso-3
• Paso 1: elaborar la diagonal principal; d / como se indica en propiedades posicionales: calculamos la primera cifra: = (n + 1) /2 = 9 +1 /2=5 primer valor por tanto 5, los siguientes serán ((nº fila-1) * n) + valor 1ª fila caso de la fila 2= ((2-1) * 9) +5=14, sucesivamente aplicando el mismo cálculo serán: 23,32,41,50,59,68 y 77 (ver figura-2).

En la imagen (figura-8) 1.ª a la derecha de la figura 7 se muestra un método rápido de rellenar ambas diagonales sin necesidad de calcular.

• Paso 2: elaborar las diagonales respecto de la principal; todas las d \ que desembocan a d / tiene valores correlativos por consiguiente, empezando por la casilla central hacia abajo serán: 42,43,44,45 (figura-3) y hacia arriba serán: 40,39,38,37... proceder igualmente desde el resto de las casillas que forman d /. Con esto ya tenemos resuelto la mitad del cuadrado, todas las casillas impares... (figura-4). Para no enturbiar la figura-4 se rellenan solo unas pocas casillas y se marcan los demás afectados con el mismo color de fondo que estos...

Puede verse en la imagen (figura-9) (la 2.ª a la derecha de la figura-7, más abajo), cuáles casillas son estas, tomadas del cuadrado original del que se toman los valores, y que al caso son correlativos. Obsérvese el giro a 45° de la imagen para ver la concordancia claramente. La imagen ilustra la no necesidad de calcular dichas casillas. Por ejemplo para la primera fila se ve que estas son: 37 - 29 - 21 - 13 y 5.

• Paso 3: Desde este momento hay que considerar el cuadrado en 4 zonas, primero en 2 separadas por d / y nuevamente dividimos cada zona en 2 de acuerdo a d \ (ver figura-5 donde pintamos cada área de un color (solo las casilla que faltan por resolver)). Cada una de las 4 zonas delimitadas se resuelve con suma o resta de un valor ya existente en la casilla adhyacente operando con NB, siendo condicionado cada zona al siguiente criterio; El valor de cada casilla resulta de operar la casilla inmediata al lado:
• En la zona norte, izquierda + NB
• En la zona sur, derecha - NB
• En la zona oeste, inferior - NB
• En la zona este, superior + NB. Esto es, una casilla en la zona este se calcula sumando el valor de la que está encima de esta + NB.

En última imagen (3ª a la derecha de la figura-7) se muestra de donde proceden estas casillas en el cuadrado original, y como se ubican en cada sector. Compárese cada sector con la ubicación de la figura-9. Puede verse como los sectores han sido trasladados. Todas las casillas corresponden a las que se muestran en la figura-7 en color amarillo.

Se ha calculado solo una casilla en cada zona (ver figura-6), para apreciar con más claridad cada caso, analicemos por ejemplo la de la zona este. Tomemos (ver figura-5) la casilla situada entre aquella que tiene el valor 34 y la que tiene valor 44, valdrá, lo que vale la casilla según se indica por la zona a que corresponde, este caso la de encima de ella + NB= 34 + 41=75 ( ver resultado en figura-6 y comprobar con figura-7).

La figura-7 muestra el cuadrado completamente relleno y de un mismo color las casilas obtenidas en cada paso. Corresponde a cada paso los siguientes colores: paso 1: marrón, paso 2: arena, paso 3: amarillo. A la derecha se muestra una imagen donde se relacionan las casillas que corresponden a las diagonales sin necesidad de calcular, nótese que el cuadrado de la imagen (figura 8) tiene todas sus casillas correlativamente numeradas del 1 al 81.

Rellenar las diagonales sin calcular

Rellenar casillas diagonales respecto de la diagonal principal

Rellenar las casillas del paso 3 sin calcular

• Los métodos explicados detalladamente valen para cualquiera que sea el número de n, que por razones de espacio se ha trabajado con ejemplos cuyo n resulta fácilmente manejable.
• Cuando ya se conocen las reglas pueden construirse siguiendo otro criterio basándose en la relación que mantienen entre sí las casillas. Con todo se recomienda seguir las instrucciones cuando se hace manualmente.
• Una vez realizado un cuadrado mágico esotérico puede fácilmente mudarse en cualquier otro tipo de cuadrado mágico simplemente por sustitución, adición, giro o cualquier otro método.