Demostración de la irracionalidad de e

Esta es una prueba por contradicción. Inicialmente se supone que e es un número racional de la forma a/b.
${\displaystyle e={\frac {a}{b}}}$

Se define el número

${\displaystyle \ x=b!\,{\biggl (}e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}.}$

Notar que x es un entero, se sustituye e = a/b en esta definición para obtener

${\displaystyle x=b!\,{\biggl (}{\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}\,.}$

El primer término es un entero, y cada fracción en la suma es un entero ya que n≤b para cada término. Por lo tanto, x es un entero.

Ahora probaremos que 0 < x < 1. Primero, insertamos la serie que representa al número e esto es ${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}$, en la definición de x para obtener

${\displaystyle x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}>0\,.}$

Para todos los términos con n ≥ b + 1 tenemos el estimado superior

${\displaystyle {\frac {b!}{n!}}={\frac {1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(n-b))}}\leq {\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}\,,}$

el cual es estricto aun para cada n ≥ b + 2. Cambiando el índice de la sumatoria a k = n – b y usando la fórmula para la serie geométrica infinita, obtenemos

${\displaystyle x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}<\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{k}}}={\frac {1}{b+1}}{\biggl (}{\frac {1}{1-{\frac {1}{b+1}}}}{\biggr )}={\frac {1}{b}}<1.}$

Como no hay un entero entre 0 y 1, hemos llegado a una contradicción, y por lo tanto, e debe ser irracional.

• Número e
• Función exponencial
• Número trascendente