Reductio ad absurdum

Supongamos que se desea demostrar una proposición P. El procedimiento consiste en demostrar que asumiendo como cierta la falsedad de P (o sea P negada) conduce a una contradicción lógica. Entonces P debería no ser falsa. Por lo tanto tiene que ser verdadera.

Por ejemplo considérese la proposición «no existe un número racional mínimo mayor que cero». En una reducción al absurdo se comenzaría por asumir lo contrario y nuestra tesis sería: existe un número racional mínimo mayor que cero: r₀.

Ahora tomemos x = r₀/2. Por lo tanto x es un número racional mayor que cero, y x<r₀. Eso es un absurdo, pues contradice la hipótesis de partida de que r₀ era el número racional mínimo. Por lo tanto se debe concluir que la proposición asumida como cierta: «hay un número racional mínimo mayor que cero» es falsa.

No es inusual utilizar este tipo de razonamientos con proposiciones como la enunciada, acerca de la inexistencia de cierto elemento matemático. Se supone que ese elemento existe y se prueba que eso conduce a una contradicción. Por lo tanto ese objeto no existe.

Existen numerosas demostraciones sobre que existen infinitos números primos, la primera de la que se tiene constancia es de Euclides, donde queda demostrado mediante Reductio ad absurdum en la Proposición 20 del libro IX de Elementos (Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta de números primos).

Partiendo de suponer que lo cierto es lo contrario, por lo cual nuestra tesis quedaría: «Los números primos son finitos», entonces tenemos ${\displaystyle n}$ números primos que serían ${\displaystyle P=p_{1},p_{2},...,p_{n}}$ .

Entonces se toma ahora el siguiente número:

${\displaystyle m=p_{1}\cdot p_{2}\cdot ...\cdot p_{n}+1}$

Tenemos que ${\displaystyle m}$ es el producto de todos los números primos más 1, y  ${\displaystyle m}$ no es un número primo, pues no se encuentra en la lista anterior, entonces por definición  ${\displaystyle m}$ es un número compuesto y debe ser divisible por algún número primo.

Si hacemos la división entre cualquier número primo de la lista ${\displaystyle P=p_{1},p_{2},...,p_{n}}$, nos sale resto 1, por lo cual debe existir al menos otro número primo que no se encuentra en esa lista.

Entonces llegamos a una contradicción de nuestra tesis «Los números primos son finitos» que es falsa, por lo cual existen infinitos números primos.

Un ejemplo es la demostración de que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional. La afirmación inicial (nuestra tesis) es la contraria, es decir, que: «la raíz cuadrada de 2 es un número racional».

Al ser un número racional, vamos a expresarlo como ${\displaystyle p/q}$; entonces quedaría:

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}}$, ${\displaystyle p,q\in \mathrm {Z} /q\neq 0}$ (donde p y q son números enteros, q es distinto de 0).

Sin pérdida de generalidad se puede suponer que p y q son positivos (si los dos fueran negativos, bastaría multiplicarlos por -1) y que son primos entre sí, es decir, no comparten factor común alguno (ya que si hubiera factores comunes, los podemos simplificar y quedarnos con la fracción irreducible resultante). Ahora elevamos ambos miembros al cuadrado:

${\displaystyle 2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}}$

Multiplicando en ambos lados por ${\displaystyle q^{2}\,\!}$, se tiene:

${\displaystyle 2q^{2}=p^{2}\,\!}$

La expresión ${\displaystyle 2q^{2}\,\!}$ es un número par, por lo que ${\displaystyle p\,\!}$ también es par (de no serlo, ${\displaystyle p^{2}\,\!}$ no sería par, y no se podría cumplir la igualdad).

Sea ${\displaystyle p=2n\,\!}$, donde ${\displaystyle n\,\!}$ es un número entero. Sustituyendo, la expresión quedaría:

${\displaystyle 2q^{2}=(2n)^{2}=4n^{2}\,\!}$

Podemos simplificar dividiendo por dos en ambas partes y obtener que

${\displaystyle q^{2}=2n^{2}\,\!}$

Por el mismo razonamiento de antes, donde ${\displaystyle 2n^{2}\,\!}$ es un número par, ${\displaystyle q^{2}\,\!}$ también es par, como lo es ${\displaystyle q\,\!}$.

Como ${\displaystyle p\,\!}$ y ${\displaystyle q\,\!}$ son pares, tienen al menos un factor común, ${\displaystyle 2\,\!}$. Esto entra en contradicción con la suposición anterior, de que los números ${\displaystyle p\,\!}$ y ${\displaystyle q\,\!}$ no tenían factores en común. Como esta elección de ${\displaystyle p\,\!}$ y ${\displaystyle q\,\!}$ se hizo sin pérdida de generalidad y el razonamiento posterior es correcto, ello implica que la premisa inicial de que ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ era racional es falsa.
Luego ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ es irracional. Q.E.D.