Demostración de la irracionalidad de e
En matemáticas, la identidad como serie del número e
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puede ser usado para probar que e es un número irracional. De las tantas representaciones posibles de e, esta es la serie de Taylor para la función exponencial ey evaluada en y=1.
Demostración
Esta es una prueba por contradicción. Inicialmente se supone que e es un número racional de la forma a/b.
Se define el número
Notar que x es un entero, se sustituye e = a/b en esta definición para obtener
El primer término es un entero, y cada fracción en la suma es un entero ya que n≤b para cada término. Por lo tanto, x es un entero.
Ahora probaremos que 0 < x < 1. Primero, insertamos la serie que representa al número e esto es , en la definición de x para obtener
Para todos los términos con n ≥ b + 1 tenemos el estimado superior
el cual es estricto aun para cada n ≥ b + 2. Cambiando el índice de la sumatoria a k = n – b y usando la fórmula para la serie geométrica infinita, obtenemos
Como no hay un entero entre 0 y 1, hemos llegado a una contradicción, y por lo tanto, e debe ser irracional.