Factorización

La factorización de polinomios se emplea en:

• La resolución de una ecuación algebraica P(x); usualmente se considera el factor x-a y se tantea mediante la división sintética de Ruffini. Si el resto es cero, cabe la igualdad P(x)= H(x)(x-a). Y se reitera el procedimiento.
• La adición de fracciones algebraicas.[3]
• Integración de funciones racionales, para lo cual se descompone en fracciones parciales.[4]

Los estudiantes que se introducen en la factorización como principal método de resolución de ecuaciones cuadráticas que se sorprenda al saber que es uno de los más nuevos métodos para resolverlos. Vera Sanford señala en su A Short History of Mathematics (1930)[5] que "en vista de la actual énfasis dado a la solución de ecuaciones cuadráticas por factorización, es interesante observar que este método no se utilizó hasta el trabajo de Harriot en 1631. Incluso en este caso, sin embargo, el autor hace caso omiso de los factores que dan lugar a las raíces negativas. "Harriot murió en 1621, y al igual que todos sus libros, este, Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas, fue publicado después de su muerte. Un artículo sobre Harriot en el sitio web de la historia matemática de la Universidad de San Andrews dice que en su escritura personal en la resolución de ecuaciones Harriot hizo uso de soluciones tanto positivos como negativos, pero su editor, Walter Warner, no presentó en su libro. método de factorización de Harriot puede ser distinta de lo que los estudiantes esperan modernas. En la primera sección (Sección Prima) Harriot dibuja tablas para ilustrar la suma, resta, multiplicación y división de monomios, binomios, y trinomio. Luego, en la segunda sección que muestra una multiplicación más directa que proporciona la base para su método de factorización. Él establece la ecuación de aa − ba + ca = + bc, y muestra que esta coincida con la forma de multiplicación que ha proporcionado previamente como,

a − b		aa − ba
	(===)		(Harriot usa el signo igual de largo introducido por Robert Recorde)
a + c		ca − bc

Así factorizando los cuatro términos de la expresión ajustada aa − ba + ca − bc. Este ejemplo puede ser visto en la página 16 de the Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas.

Harriot escribe un formulario para cada una de las posibilidades de (a ± b)(a ± c) con a siendo lo desconocido (donde podríamos utilizar x hoy) y luego, cuando se deben incorporar recoge en una de las formas que responden. Al separar el coeficiente lineal en dos partes que es capaz de romper el problema en una de las formas.

Hay sólo unos pocos métodos generales que pueden ser aplicados a cualquier polinomio ya sea en una variable (la univariate case) o varias variables (el caso de multivariables).

Encontrando, por inspección, el monomio que es el máximo común divisor de todos los términos del polinomio y factorizándolo como un factor común que es una aplicación de la ley distributiva. Este es comúnmente el más usado en la técnica de factorización. Por ejemplo:[6]

${\displaystyle 6x^{3}y^{2}+8x^{4}y^{3}-10x^{5}y^{3}=}$${\displaystyle (2x^{3}y^{2})(3)+(2x^{3}y^{2})(4xy)+(2x^{3}y^{2})(-5x^{2}y)=}$ ${\displaystyle (2x^{3}y^{2})(3+4xy-5x^{2}y).}$

Un método que a veces es útil, pero no garantiza que funcione, es la factorización mediante la agrupación.

La factorización por agrupación se realiza mediante la colocación de los términos en el polinomio en dos o más grupos, donde cada grupo se puede factorizar mediante un método conocido. Los resultados de estas factorizaciones parciales se pueden combinar a veces para dar una factorización de la expresión original.

Por ejemplo, para factorizar el polinomio

${\displaystyle 4x^{2}+20x+3xy+15y\,}$:

1. Agrupar los términos similares, ${\displaystyle (4x^{2}+20x)+(3xy+15y),\,}$
2. Factorizar por el máximo común divisor en cada agrupación, ${\displaystyle 4x(x+5)+3y(x+5),\,}$
3. Nuevamente factorizar el factor común del binomio, ${\displaystyle (x+5)(4x+3y).\,}$

Mientras que la agrupación no puede conducir a una factorización en general, si la expresión polinómica no ha influido, consta de cuatro términos y es el resultado de multiplicar dos binomios( por la ley distributiva), entonces la técnica de agrupación puede conducir a una factorización, como en el ejemplo anterior.

Para un polinomio de una variable, p(x), el teorema del factor establece que a es una raíz del polinomio (que es, p(a) = 0, también llamado un cero del polinomio) si y solo si (x - a) es un factor de p(x). El otro factor en una factorización de p(x) puede ser obtenido por la división polinómica o división sintética.

Por ejemplo, consideremos el polinomio ${\displaystyle x^{3}-3x+2.}$ Por inspección vemos que 1 es la raíz de este polinomio (observemos que los coeficientes se suman a 0), entonces (x - 1)es un factor del polinomio. Por división de larga tenemos ${\displaystyle x^{3}-3x+2=(x-1)(x^{2}+x-2).}$

Cuando el polinomio de una variable es completamente factorizado en factores lineales (factores de un grado), todas las raíces del polinomio son visibles y multiplicando los factores juntos de nuevo, se puede observar la relación entre las raíces y los coeficientes. Formalmente, estas relaciones se conocen como fórmulas de Viète. Estas fórmulas no ayudan a factorizar el polinomio excepto como una guía para hacer buenas conjeturas que sean en las posibles raíces. Sin embargo, si se conoce alguna información adicional acerca de las raíces, esto se puede combinar con las fórmulas para obtener las raíces y por lo tanto la factorización.

Por ejemplo,[7] podemos factorizar ${\displaystyle x^{3}-5x^{2}-16x+80}$ si sabemos que la suma de dos de sus raíces es cero. Deja que ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ y ${\displaystyle r_{3}}$ sean las tres ráices de este polinomio. A continuación, las fórmulas de Viète son:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}+r_{2}+r_{3}&=5\\r_{1}r_{2}+r_{2}r_{3}+r_{3}r_{1}&=-16\\r_{1}r_{2}r_{3}&=-80.\end{aligned}}}$

Asumiendo que ${\displaystyle r_{2}+r_{3}=0}$ inmediatamente da ${\displaystyle r_{1}=5}$ y reduce las otras dos ecuaciones a ${\displaystyle r_{2}^{2}=16.}$ De este modo las raíces son 5, 4 y -4 y tenemos ${\displaystyle x^{3}-5x^{2}-16x+80=(x-5)(x-4)(x+4).}$

Si un (una variable) polinomio, f(x), tiene una raíz racional, p/q (p y q son enteros y q ≠ 0), entonces por el teorema del factor f(x) tiene el factor,

${\displaystyle \left(x-{\frac {p}{q}}\right)={\frac {1}{q}}(qx-p).}$

Si, además, el polinomio f(x) tiene coeficientes enteros, entonces q debe dividir uniformemente la parte entera del máximo común divisor de los términos del polinomio., y, en la factorización de f(x), sólo el factor (qx - p) será visible.

Si un (una variable) polinomio con coeficientes enteros, dice,

${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}}$

tiene una raíz racional p/q, donde p y q son enteros que son números primos entre sí, entonces por el teorema de la raíz racional p es un divisor entero de a_n y q es un divisor entero de a₀.[8]

Si queríamos factorizar el polinomio ${\displaystyle 2x^{3}-7x^{2}+10x-6}$ podríamos buscar raíces racionales p/q donde p divide -6, q divide 2 y p u q no tienen factor común más grande que 1. Por inspección vemos que este polinomio no tiene raíces negativas. Asumir que q = 2 (de lo contrario estaríamos buscando las raíces de números enteros), sustituir x = p/2 y colocar la igualdad del polinomio a 0.

Multiplicando por 4, obtenemos ${\displaystyle p^{3}-7p^{2}+20p-24=0}$ que tendrá una solución entera de 1 o 3 si el polinomio original tenía una raíz racional del tipo que buscamos. Desde que 3 es una solución de esta ecuación (y no es 1), el polinomio original tenía la raíz racional 3/2 y el factor correspondiente (2x - 3). Por la división larga polinómica tenemos la factorización ${\displaystyle 2x^{3}-7x^{2}+10x-6=(2x-3)(x^{2}-2x+2).}$

Para un polinomio de segundo grado con coeficientes enteros, teniendo raíces racionales, las consideraciones anteriores llevan a una técnica de factorización conocido como el método ac de factorización.[9] Suponiendo que el polinomio de segundo grado con coeficientes enteros es:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$

y tiene raíces racionales, p/q y u/v. (Si el discriminante, ${\displaystyle b^{2}-4ac}$, es un número cuadrado éstos existen, de lo contrario tenemos soluciones irracionales o complejos, y no habrá ningunas raíces racionales.) Ambos q y v deben ser divisores dea por lo que podemos escribir estas fracciones con un denominador común de a, que es, que se pueden escribir como -r/a y -s/a (el uso de los negativos es cosmético y conduce a un resultado final más bonito.) Entonces,

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)=a\left({\frac {1}{a}}(ax+r){\frac {1}{a}}(ax+s)\right)={\frac {(ax+r)(ax+s)}{a}}.}$

Así, tenemos:

${\displaystyle a^{2}x^{2}+abx+ac=(ax+r)(ax+s),}$

Donde rs = ac y r + s = b. El método ac para factorizar el polinomio de segundo grado es encontrar r y s, los dos factores del número ac cuya suma es b y luego utilizarlos en la fórmula de la factorización de la ecuación cuadrática de origen encima.

Como ejemplo, consideremos el polinomio de segundo grado:

${\displaystyle 6x^{2}+13x+6.}$

La inspección de los factores de ac = 36 conduce a 4 + 9 = 13 = b.

${\displaystyle {\begin{aligned}6x^{2}+13x+6&={\frac {(6x+4)(6x+9)}{6}}\\&={\frac {2(3x+2)(3)(2x+3)}{6}}\\&=(3x+2)(2x+3)\end{aligned}}}$

Mientras se está tomando el producto de dos (o más) las expresiones pueden hacerse siguiendo un algoritmo de multiplicación, el proceso inverso de la factorización se basa con frecuencia en el reconocimiento de un patrón en la expresión de tenerse en cuenta y recordando cómo surge un patrón. Los siguientes son algunos patrones bien conocidos.[10]

Un tipo común de factorización algebraica es para la diferencia de dos cuadrados. Es la aplicación de la fórmula

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b),\,\!}$

a cualquiera de los dos términos, si son o no son cuadrados perfectos.

Esta forma básica se utiliza a menudo con expresiones más complicadas que pueden no parecer a primera vista como la diferencia de dos cuadrados. Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}+2ab+b^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}&=(a^{2}+2ab+b^{2})-(x^{2}-2xy+y^{2})\\&=(a+b)^{2}-(x-y)^{2}\\&=(a+b+x-y)(a+b-x+y).\end{aligned}}}$

Una representación visual de la factorización de los cubos usando volúmenes. Por una suma de cubos, simplemente sustituyendo z=-y.

Otra fórmula para la factorización es la suma o diferencia de dos cubos. La suma se puede factorizar por

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}),\,\!}$

y la diferencia por

${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).\,\!}$

Las factorizaciones n-ésima de diferencias y sumas de potencias se pueden ampliar a cualquier potencia entera positiva n.

Para cualquier n, una factorización general es:

${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+ba^{n-2}+b^{2}a^{n-3}+\ldots +b^{n-2}a+b^{n-1})=(a-b)\ \sum _{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}b^{i}.\!}$

La fórmula correspondiente para la suma de dos potencias n-ésimas depende de si n es par o impar. Si n es impar, b puede se reemplazado por −b en la fórmula anterior, para dar

${\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-ba^{n-2}+b^{2}a^{n-3}-\ldots -b^{n-2}a+b^{n-1}).\!}$

Si n es par, consideramos dos casos:

1. Si n es una potencia de 2 entonces ${\displaystyle a^{n}+b^{n}\!}$ no se puede factorizar (más precisamente, irreducible sobre los números racionales).
2. De otra manera, ${\displaystyle n=m\cdot 2^{k},m>1,k>0}$ donde m es impar. En este caso tenemos,

${\displaystyle a^{n}+b^{n}=}$ ${\displaystyle (a^{2^{k}}+b^{2^{k}})(a^{n-2^{k}}-a^{n-2\cdot 2^{k}}b^{2^{k}}+a^{n-3\cdot 2^{k}}b^{2\cdot 2^{k}}-\ldots -a^{2^{k}}b^{n-2\cdot 2^{k}}+b^{n-2^{k}})=}$ ${\displaystyle (a^{2^{k}}+b^{2^{k}})\sum _{i=1}^{m}a^{(m-i)2^{k}}(-b^{2^{k}})^{i-1}.\!}$

En concreto, para algunos valores pequeños de n tenemos:

${\displaystyle a^{5}+b^{5}=(a+b)(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4}),\,\!}$

${\displaystyle a^{5}-b^{5}=(a-b)(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4}).\,\!}$

${\displaystyle a^{6}+b^{6}=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}),\,\!}$

${\displaystyle a^{6}-b^{6}=(a^{3}+b^{3})(a^{3}-b^{3})=(a+b)(a-b)(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2}).\,\!}$

${\displaystyle a^{7}+b^{7}=(a+b)(a^{6}-a^{5}b+a^{4}b^{2}-a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}-ab^{5}+b^{6}),\,\!}$

${\displaystyle a^{7}-b^{7}=(a-b)(a^{6}+a^{5}b+a^{4}b^{2}+a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}+ab^{5}+b^{6}).\,\!}$

Las factorizaciones anteriores dan factores con coeficientes en el mismo campo que las de la expresión de ser factorizada, por ejemplo, un polinomio con coeficientes racionales (± 1 en muchos casos anteriores) se divide en factores que por sí mismos tienen coeficientes racionales. Sin embargo, una factorización en factores con números algebraicos como coeficientes puede producir factores de menor grado, al igual que en las siguientes fórmulas que se pueden demostrar con ayuda de las raíces complejas conjugadas de ${\displaystyle f(a)=a^{n}\pm b^{n}:}$

La suma de dos términos que tienen potencias pares iguales es factorizada

${\displaystyle a^{2n}+\ b^{2n}=\prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}a^{2}\ \pm \ 2ab\cos {\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\ +\ b^{2}{\Bigl )}.\!}$

La diferencia de dos términos que tienen potencias pares iguales es factorizada

${\displaystyle a^{2n}-\ b^{2n}=(a\ -\ b)(a\ +\ b)\prod _{k=1}^{n-1}{\Bigl (}a^{2}\ \pm \ 2ab\cos {\frac {k\pi }{n}}\ +\ b^{2}{\Bigl )}.\!}$

La suma o diferencia de dos términos que tienen potencias impares se factoriza

${\displaystyle a^{2n+1}\ \pm \ b^{2n+1}=(a\ \pm \ b)\prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}a^{2}\ \pm \ 2ab\cos {\frac {2k\pi }{2n+1}}\ +\ b^{2}{\Bigl )}=}$ ${\displaystyle (a\ \pm \ b)\prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}a^{2}\ \pm \ 2ab(-1)^{k}\cos {\frac {k\pi }{2n+1}}\ +\ b^{2}{\Bigl )}.\!}$

Por ejemplo, la suma o diferencia de dos potencias quintas se factoriza

${\displaystyle a^{5}\pm b^{5}=(a\pm b){\Biggl (}a^{2}\mp {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}{\Biggl )}{\Biggl (}a^{2}\mp {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}{\Biggl )},\!}$

y la suma de dos potencias cuartas se factoriza a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle a^4 + b^4 = (a^2 - \sqrt 2 ab + b^2)(a^2 + \sqrt 2 ab + b^2).\! }

Una ilustración visual de la identidad (a + b)² = a² + 2ab + b²

El teorema del binomio suministra patrones de coeficientes que permiten factorizaciones fácilmente reconocidos cuando el polinomio es una potencia de un binomio.

Por ejemplo, el trinomio cuadrado perfecto son los polinomios de segundo grado que se puede factorizar como se muestra a continuación:

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2},\,\!}$

y

${\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}.\,\!}$

Algunos polinomios cúbicos, se pueden factorizar como cubo perfecto de la siguiente manera:

${\displaystyle a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3},}$

y

${\displaystyle a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}.}$

En general, los coeficientes del polinomio expandido ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ vienen dados por la 'enésima' fila del triángulo de Pascal. Los coeficientes de ${\displaystyle (a-b)^{n}}$ tienen el mismo valor absoluto, pero con signos alternados.

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)\,&=(x+y+z)^{2}\\x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz\,&=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz)\\x^{3}+y^{3}+z^{3}+3x^{2}(y+z)+3y^{2}(x+z)+3z^{2}(x+y)+6xyz\,&=(x+y+z)^{3}\\x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}\,&=(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2}).\end{aligned}}}$

Cualquier polinomio de segundo grado de una variable (polinomios de la forma ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$) se puede factorizar sobre el campo de los números complejos utilizando la fórmula cuadrática, como sigue:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right),}$

donde ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \beta }$ son las dos raíces del polinomio, ya sean ambas reales o complejas en el caso donde a, b, c son todos reales, encontradas con la fórmula cuadrática.

La fórmula cuadrática es válida para todos los polinomios con coeficientes en cualquier campo (en particular, los números reales o complejos) excepto esos que tienen característica dos.[11]

También hay fórmulas para cúbicas y cuárticas, polinomios que se pueden utilizar de la misma manera. Sin embargo, no hay fórmulas algebraicas en términos de los coeficientes que se aplican a todos los polinomios de una variable de un grado más alto, por el teorema de Abel-Ruffini.

Si a y b representan números reales, entonces la suma de sus cuadrados puede ser escrita como el producto de números complejos. Esto produce la fórmula de factorización:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi).\,\!}$

Por ejemplo, ${\displaystyle 4x^{2}+49}$ puede ser factorizada en ${\displaystyle (2x+7i)(2x-7i)}$.