Ecuación de resistencia

La ecuación es más fácil de entender para la situación idealizada en la que todo el fluido incide en el área de referencia y se detiene por completo, acumulando una presión de estancamiento en toda el área. Ningún objeto real corresponde exactamente a este comportamiento. C_D es la relación de resistencia de cualquier objeto real con el del objeto ideal. En la práctica, un cuerpo bruto no aerodinámico (un cuerpo de una farola) tendrá un C_D alrededor de 1, más o menos. Los objetos más lisos pueden tener valores de C_D mucho más bajos. La ecuación es precisa: simplemente proporciona la definición de C_D (coeficiente de resistencia), que varía con el número de Reynolds y se encuentra por experimento.

De particular importancia es la dependencia de ${\displaystyle u^{2}}$ de la velocidad del flujo, lo que significa que la resistencia del fluido aumenta con el cuadrado de la velocidad del flujo. Cuando la velocidad del flujo se duplica, por ejemplo, no sólo el fluido roza con el doble de la velocidad del flujo sino que el doble de la masa del fluido lo golpea por segundo. Por lo tanto, el cambio de velocidad por segundo se multiplica por cuatro. La fuerza es equivalente al cambio de velocidad dividido por el tiempo. Esto contrasta con la fricción «sólido sobre sólido», que generalmente tiene muy poca dependencia de la velocidad de flujo.

La fuerza de resistencia también se puede expresar mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle F_{D}\propto P_{d}A}$

donde P_d es la presión ejercida por el fluido en el área A. Aquí la presión P_d se denomina presión dinámica debido a la energía cinética del fluido que experimenta una velocidad de flujo relativa u. También se define de forma similar a la ecuación de energía cinética: ${\displaystyle P_{d}={\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$

La ecuación de resistencia puede derivarse por medio de una función de las variables que intervienen mediante el método de análisis dimensional. Si un fluido en movimiento se encuentra con un objeto, ejerce una fuerza sobre él. Supongamos que las variables involucradas, antes mencionadas, bajo ciertas condiciones, son:

• velocidad u,
• densidad del fluido ρ,
• viscosidad cinemática ν del fluido,
• tamaño del objeto, expresado en términos de su área frontal A, y
• la fuerza de resistencia F_D.

Usando el algoritmo del teorema π de Vaschy-Buckingham, estas cinco variables se pueden reducir a dos parámetros adimensionales:

• Coeficiente de resistencia C_D and
• Número de Reynolds R_e.

mediante la manipulación directa de las variables.

Esto se hace evidente cuando la fuerza de resistencia F_D se expresa como parte de una función de las otras variables del problema:

${\displaystyle f_{a}(F_{D},\,u,\,A,\,\rho ,\,\nu )\,=\,0.\,}$

Esta forma de expresión bastante extraña se utiliza porque no asume una relación de uno a uno. Aquí, f_a es una función (aún desconocida) de cinco variables. Ahora bien, el lado derecho es cero en cualquier sistema de unidades; por lo tanto, debería ser posible expresar la relación descrita por f_a en términos de sólo grupos adimensionales.

Hay muchas maneras de combinar las cinco variables de "f_a" para formar grupos adimensionales, pero el Teorema π de Vaschy-Buckingham establece que habrá dos de esos grupos. Los más apropiados son el número de Reynolds, dado por

${\displaystyle \mathrm {Re} \,=\,{\frac {u\,{\sqrt {A}}}{\nu }}}$

y el coeficiente de resistencia, dado por

${\displaystyle C_{D}\,=\,{\frac {F_{D}}{{\frac {1}{2}}\,\rho \,A\,u^{2}}}.}$

Así, la función de cinco variables puede ser sustituida por otra función de sólo dos variables:

${\displaystyle f_{b}\left({\frac {F_{D}}{{\frac {1}{2}}\,\rho \,A\,u^{2}}},\,{\frac {u\,{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)\,=\,0.}$

donde f_b es función de solamente dos variable.

Debido a que la única incógnita en la ecuación anterior es la fuerza de resistencia F_D, es posible expresarla como

${\displaystyle {\frac {F_{D}}{{\frac {1}{2}}\,\rho \,A\,u^{2}}}\,=\,f_{c}\left({\frac {u\,{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)}$

o bien

${\displaystyle F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,A\,u^{2}\,f_{c}(R_{e}),\,}$     siendo     ${\displaystyle C_{D}\,=\,f_{c}(R_{e}).}$

Por lo tanto, la fuerza es simplemente ½ ρ A u² veces alguna de la función f_c, aún desconocida, del número de Reynolds R_e'; un sistema considerablemente más simple que la función original de cinco incógnitas dada al comienzo.

De esta forma, el análisis dimensional hace que un problema muy complejo como es el de tratar de determinar el comportamiento de una función de cinco variables, sea mucho más simple: la determinación de la resistencia en función de una sola variable, el número de Reynolds.

El análisis también da otra información de forma gratuita, por así decirlo. El análisis muestra que, ceteris paribus, la fuerza de resistencia será proporcional a la densidad del fluido. Este tipo de información a menudo resulta ser extremadamente valiosa, especialmente en las primeras etapas de un proyecto de investigación.

Para determinar empíricamente la dependencia del número de Reynolds, en lugar de experimentar en cuerpos enormes con fluidos de flujo rápido, como aviones de tamaño real en los túneles de viento, se puede experimentar en modelos pequeños con una mayor viscosidad y velocidad de flujo, ya que estos dos sistemas son similares.

• Resistencia de un fluido
• Ángulo de ataque
• Ecuación de Morison
• Entrada en pérdida
• Velocidad límite
• Presión dinámica

• Batchelor, G.K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-66396-2.
• Huntley, H. E. (1967). Dimensional Analysis. Dover. LOC 67-17978.