Ecuación integral de Volterra

Una ecuación de Volterra lineal de primer tipo es:

${\displaystyle f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds.}$

donde ${\displaystyle f}$ es una función dada y ${\displaystyle x}$ es una función desconocida que busca resolverse.

Una ecuación lineal de Volterra de segundo tipo es:

${\displaystyle x(t)=f(t)+\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds.}$

Una ecuación lineal integral de Volterra es una ecuación de convolución si

${\displaystyle x(t)=f(t)+\int _{t_{0}}^{t}K(t-s)x(s)\,ds.}$

donde la función ${\displaystyle K}$ en la integral es llamada kernel. Estas ecuaciones pueden ser analizadas y resueltas por los métodos de la transformada de Laplace.

Una ecuación lineal de Volterra de primer tipo puede ser reducida a una ecuación lineal de Volterra de segundo tipo asumiendo que ${\displaystyle K(t,t)\neq 0}$. Derivando la ecuación lineal de Volterra de primer tipo obtenemos

${\displaystyle {\frac {df}{dt}}=\int _{a}^{t}{\frac {\partial K}{\partial t}}\;x(s)ds+K(t,t)x(t)}$

dividiendo entre ${\displaystyle K(t,t)}$ obtenemos

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{K(t,t)}}{\frac {df}{dt}}-\int _{a}^{t}{\frac {1}{K(t,t)}}{\frac {\partial K}{\partial t}}\;x(s)ds}$

definiendo ${\textstyle {\widehat {f}}(t):={\frac {1}{K(t,t)}}{\frac {df}{dt}}}$ y ${\textstyle {\tilde {K}}(t,s):=-{\frac {1}{K(t,t)}}{\frac {\partial K}{\partial t}}}$ completa la transformación de una ecuación lineal de Volterra de primer tipo a una ecuación lineal de Volterra de segundo tipo.

• Traian Lalescu (1912). Introduction à la théorie des équations intégrales. Avec une préface de É. Picard (en francés). Paris: A. Hermann et Fils.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Volterra equation», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
• Weisstein, Eric W. «Volterra Integral Equation of the First Kind». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric W. «Volterra Integral Equation of the Second Kind». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• «Integral Equations: Exact Solutions» (en inglés). EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). «Section 19.2. Volterra Equations». Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (en inglés) (3rd edición). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Archivado desde el original|urlarchivo= requiere |url= (ayuda) el 11 de agosto de 2011. Consultado el 16 de marzo de 2016.