Coordenadas polares

Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas

En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo ${\displaystyle \theta }$ del vector de posición sobre el eje x.

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo ${\displaystyle \theta }$ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

${\displaystyle x=r\cos \theta \,}$

${\displaystyle y=r\operatorname {sen} \theta \,}$

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es:

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ (aplicando el Teorema de Pitágoras)

Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:

• Para ${\displaystyle r}$ = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.
• Para ${\displaystyle r}$ ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].

Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas (${\displaystyle \arctan }$ denota la inversa de la función tangente):

${\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{si }}x>0{\text{ y }}y\geq 0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{si }}x<0\\{\frac {3\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y<0\\\arctan({\frac {y}{x}})+2\pi &{\text{si }}x>0{\text{ y }}y<0\end{cases}}}$

Para obtener ${\displaystyle \theta }$ en el intervalo ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$, se considera que ${\displaystyle \arctan {\bigg (}{\frac {y}{x}}{\bigg )}\in {\bigg (}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\bigg )}}$ es una función creciente en su dominio:

${\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{si }}x<0{\text{ y }}y<0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y<0\\\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{si }}x>0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{si }}x<0{\text{ y }}y\geq 0\end{cases}}}$

Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a la implementación de la función atan2, que tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la función atan puede recibir como parámetro la coordenada x (como ocurre en Lisp).

Un círculo con ecuación ${\displaystyle r}$(θ) = 1

La ecuación general para una circunferencia con centro en (${\displaystyle r}$₀, φ) y radio ${\displaystyle a}$ es

${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}.\,}$

En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene:[8]

${\displaystyle r(\theta )=a\,}$

Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación

${\displaystyle \theta =\varphi \,}$

donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan ${\displaystyle m}$ donde ${\displaystyle m}$ es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto (${\displaystyle r}$₀, φ) tiene la ecuación

${\displaystyle r(\theta )={r_{0}}\sec(\theta -\varphi ).\,}$

Una rosa polar con ecuación ${\displaystyle r}$(θ) = 2 sin 4θ

La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,

${\displaystyle r(\theta )=a\cos(k\theta +\phi _{0})\,}$

para cualquier constante ${\displaystyle \phi _{0}}$ (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones representan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional, pero no entero, la gráfica es similar a una rosa, pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc., pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.

Si tomamos solo valores positivos para r y valores en el intervalo ${\displaystyle [0,2\pi )\,}$ para ${\displaystyle \theta \,}$, la gráfica de la ecuación:

${\displaystyle r(\theta )=\left|a\sin \left({\frac {k}{2}}\theta +\phi _{0}\right)\right|\,}$

es una rosa de k pétalos, para cualquier número natural ${\displaystyle k\,}$. Y si ${\displaystyle k=0\,}$, la gráfica es una circunferencia de radio ${\displaystyle r=|a\sin(\phi _{0})|\,}$

Un brazo de la espiral de Arquímedes con ecuación r(θ) = θ para 0 < θ < 6π

La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuación

${\displaystyle r(\theta )=a+b\theta .}$

Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva fue una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación polar.

Otros ejemplos de espirales son la espiral logarítmica y la espiral de Fermat.

Elipse, indicándose su semilado recto

Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por:

${\displaystyle r={\ell \over {1+e\cos \theta }}}$

donde e es la excentricidad y ${\displaystyle \ell }$ es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; si e = 1, define una parábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo de radio ${\displaystyle \ell }$.

Partiendo de las ecuaciones de conversión entre coordenadas rectangulares y polares, y tomando derivadas parciales se obtiene

${\displaystyle r{\tfrac {\partial }{\partial r}}=x{\tfrac {\partial }{\partial x}}+y{\tfrac {\partial }{\partial y}}\,}$

${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial \theta }}=-y{\tfrac {\partial }{\partial x}}+x{\tfrac {\partial }{\partial y}}.}$

Para encontrar la pendiente en cartesianas de la recta tangente a una curva polar r(θ) en un punto dado, la curva debe expresarse primero como un sistema de ecuaciones paramétricas

${\displaystyle x=r(\theta )\cos \theta \,}$

${\displaystyle y=r(\theta )\operatorname {sen} \theta \,}$

Diferenciando ambas ecuaciones respecto a θ resulta

${\displaystyle {\frac {dx}{d\theta }}=r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\operatorname {sen} \theta \,}$

${\displaystyle {\frac {dy}{d\theta }}=r'(\theta )\operatorname {sen} \theta +r(\theta )\cos \theta .\,}$

Dividiendo la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la recta tangente a la curva en el punto (r, r(θ)):

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\theta )\operatorname {sen} \theta +r(\theta )\cos \theta }{r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\operatorname {sen} \theta }}.}$

La región R está delimitada por la curva r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b.

Sea R una región del plano delimitada por la curva continua r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b, donde 0 < b − a < 2π. Entonces, el área de R viene dado por

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r(\theta )^{2}\,d\theta .}$

La región R se aproxima por n sectores (aquí, n = 5).

Este resultado puede obtenerse de la siguiente manera. En primer lugar, el intervalo [a, b] se divide en n subintervalos, donde n es un entero positivo cualquiera. Por lo tanto Δθ, la longitud de cada subintervalo, es igual a b − a (la longitud total del intervalo) dividido por n (el número de subintervalos). Para cada subintervalo i = 1, 2, …, n, sea θ_i su punto medio. Se puede construir un sector circular con centro en el polo, radio r(θ_i), ángulo central Δθ y longitud de arco ${\displaystyle r(\theta _{i})\Delta \theta \,}$. El área de cada sector es entonces igual a

${\displaystyle S_{i}={\tfrac {1}{2}}r(\theta _{i})^{2}\Delta \theta }$.

Por lo tanto, el área total de todos los sectores es

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\theta _{i})^{2}\,\Delta \theta .}$

Cuanto mayor sea n, mejor es la aproximación al área. En el límite, cuando n → ∞, la suma pasa a ser una suma de Riemann, y por tanto converge en la integral

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }S_{n}={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r(\theta )^{2}\mathrm {d} \theta =S}$

Usando las coordenadas cartesianas, un elemento de área infinitesimal puede ser calculado como dA = dx dy. El método de integración por sustitución para las integrales múltiples establece que, cuando se utiliza otro sistema de coordenadas, debe tenerse en cuenta la matriz de conversión Jacobiana:

${\displaystyle J=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\operatorname {sen} \theta \\\operatorname {sen} \theta &r\cos \theta \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\theta +r\operatorname {sen} ^{2}\theta =r.}$

Por lo tanto, un elemento de área en coordenadas polares puede escribirse como:

${\displaystyle dA=J\,dr\,d\theta =r\,dr\,d\theta .}$

Una función en coordenadas polares puede ser integrada como sigue:

${\displaystyle \iint _{R}f(r,\theta )\,dA=\int _{a}^{b}\int _{0}^{r(\theta )}f(r,\theta )\,r\,dr\,d\theta .}$

donde R es la región comprendida por una curva r(θ) y las rectas θ = a y θ = b.

La fórmula para el área de R mencionada arriba se obtiene tomando f como una función constante igual a 1. Una de las aplicaciones de estas fórmulas es el cálculo de la Integral de Gauss :${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$

El cálculo vectorial puede aplicarse también a las coordenadas polares. Sea ${\displaystyle \mathbf {r} }$ el vector de posición ${\displaystyle (r\cos \theta ,r\operatorname {sen} \theta )\,}$, con r y ${\displaystyle \theta }$ dependientes del tiempo t.

Sea

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=(\cos \theta ,\operatorname {sen} \theta )}$

un vector unitario en la dirección de ${\displaystyle \mathbf {r} }$ y

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=(-\operatorname {sen} \theta ,\cos \theta )}$

un vector unitario ortogonal a ${\displaystyle \mathbf {r} }$. Las derivadas primera y segunda del vector de posición son:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\quad {\dot {\overbrace {r^{2}{\dot {\theta }}} }}\quad {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

El sistema de coordenadas polares puede extenderse a tres dimensiones con dos sistemas de coordenadas diferentes: el sistema de coordenadas cilíndricas y el sistema de coordenadas esféricas. El sistema de coordenadas cilíndricas añade una coordenada de distancia, mientras que el sistema de coordenadas esféricas añade una coordenada angular.

Un punto representado en coordenadas cilíndricas

El sistema de coordenadas cilíndricas es un sistema de coordenadas que extiende al sistema de coordenadas polares añadiendo una tercera coordenada que mide la altura de un punto sobre el plano, de la misma forma que el sistema de coordenadas cartesianas se extiende a tres dimensiones. La tercera coordenada se suele representar por h, haciendo que la notación de dichas coordenadas sea (r, θ, h).

Las coordenadas cilíndricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\,\cos \theta \\y&=r\,\operatorname {sen} \theta \\z&=h.\end{aligned}}}$

Un punto representado en coordenadas esféricas

Las coordenadas polares también pueden extenderse a tres dimensiones usando las coordenadas (ρ, φ, θ), donde ρ es la distancia al origen, φ es el ángulo con respecto al eje z (medido de 0° a 180°), y θ es el ángulo con respecto al eje x (igual que en las coordenadas polares, entre 0° y 360°). Este sistema de coordenadas es similar al sistema utilizado para denotar la altitud y la latitud de un punto en la superficie de la Tierra, donde se sitúa el origen en el centro de la Tierra, la latitud δ es el ángulo complementario de φ (es decir, δ = 90° − φ), y la longitud l viene dada por θ − 180°.[12]

Las coordenadas esféricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \operatorname {sen} \phi \cos \theta \\y&=\rho \operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \theta \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}}$

Las coordenadas polares en el espacio tienen especial interés cuando los ángulos determinan la función, como en el caso de la hélice.

Es posible generalizar estas ampliaciones de forma que se obtenga un sistema de representación para 4 o más dimensiones. Por ejemplo, para 4 dimensiones se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \operatorname {sen} \gamma \operatorname {sen} \phi \cos \theta \\y&=\rho \operatorname {sen} \gamma \operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \theta \\z&=\rho \operatorname {sen} \gamma \cos \phi \\t&=\rho \cos \gamma \end{aligned}}}$

Las coordenadas polares se usan a menudo en navegación, ya que el destino o la dirección del trayecto pueden venir dados por un ángulo y una distancia al objeto considerado. Las aeronaves, por ejemplo, utilizan un sistema de coordenadas polares ligeramente modificado para la navegación.

Los sistemas que representan simetría radial poseen unas características adecuadas para el sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como polo. Un primer ejemplo de este uso es la ecuación del flujo de las aguas subterráneas cuando se aplica a pozos radialmente simétricos. De la misma manera, los sistemas influenciados por una fuerza central son también buenos candidatos para el uso de las coordenadas polares. Algunos ejemplos son las antenas radioeléctricas, o los campos gravitatorios, que obedecen a la ley de la inversa del cuadrado (véase el problema de los dos cuerpos).

Los sistemas radialmente asimétricos también pueden modelarse con coordenadas polares. Por ejemplo la directividad de un micrófono, que caracteriza la sensibilidad del micrófono en función de la dirección del sonido recibido, puede representarse por curvas polares. La curva de un micrófono cardioide estándar, el más común de los micrófonos, tiene por ecuación r = 0,5 + 0,5 sen θ.[13]

Un problema en el análisis matemático de funciones de varias variables es la dificultad para probar la existencia de un límite, ya que pueden obtenerse diferentes resultados según la trayectoria de aproximación al punto. En el origen de coordenadas, uno de los puntos que tienen más interés para el análisis (por anular habitualmente funciones racionales o logarítmicas), este problema puede solventarse aplicando coordenadas polares. En otros puntos es posible realizar un cambio de sistema de referencia y así aplicar el truco.

Al sustituir las coordenadas cartesianas x, y, z, …, por sus correspondientes equivalencias en coordenadas polares, el límite al aproximarse al origen se reduce a un límite de una única variable, lo que resulta fácil de calcular por ser el seno y el coseno funciones acotadas y r un infinitésimo. Si el resultado no muestra dependencia angular, es posible aseverar que el límite es indistinto del punto y trayectoria desde el que se ha aproximado.