Eliminación de Gauss-Jordan

Algunos casos especiales del método -aunque presentados sin demostración- ya eran conocidos por los Matemáticos chinos en torno al año 179 de nuestra era.[2]

El método de eliminación de Gauss-Jordan aparece en el capítulo ocho del importante texto matemático chino Jiuzhang suanshu o Los nueve capítulos sobre el arte matemático. Su uso se ilustra en dieciocho problemas, de dos a cinco ecuaciones cada uno. La primera referencia al libro por este título data del 179 DC, pero algunas de sus partes fueron escritas tan pronto como alrededor del 150 a. C.,[3][4] en este año fue señalado por Liu Hui en el siglo III.

El proceso de reducción de filas hace uso de operaciones elementales de filas, y se puede dividir en dos partes. La primera parte (a veces llamada eliminación hacia adelante) reduce un sistema dado a la forma escalonada de filas, a partir de la cual se puede decir si no hay soluciones, una solución única, o infinitas soluciones. La segunda parte (a veces llamada sustitución hacia atrás) continúa utilizando operaciones de fila hasta que se encuentra la solución; en otras palabras, pone la matriz en forma escalonada reducida.

Otro punto de vista, que resulta muy útil para analizar el algoritmo, es que la reducción de filas produce una descomposición matricial de la matriz original. Las operaciones elementales de fila pueden verse como la multiplicación a la izquierda de la matriz original por matrices elementales. Alternativamente, una secuencia de operaciones elementales que reduce una sola fila puede verse como la multiplicación por una matriz de Frobenius. Entonces, la primera parte del algoritmo calcula una descomposición LU, mientras que la segunda parte escribe la matriz original como el producto de una matriz invertible determinada de forma única y una matriz escalonada de filas reducida determinada de forma única.

La complejidad computacional de la eliminación gaussiana es O(n³). Esto es, el máximo número de operaciones requeridas es del orden de n³ si el tamaño de la matriz es n × n.[5]

1. Ir a la primera columna número cero de izquierda a derecha.
2. Si la primera fila tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otra que no lo tenga.
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él.
4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en forma escalonada).
5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener 1 delantero e introducir ceros arriba de este sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes.

Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada reducida.

Supongamos que es necesario encontrar los números "x", "y", "z", que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrcr}2x&+y&-z&=&8\\-3x&-y&+2z&=&-11\\-2x&+y&+2z&=&-3\\\end{array}}\right.}$

Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:

• Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.
• Intercambiar de posición dos ecuaciones
• Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.

En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrcr}2x&+y&-z&=&8\\&{\frac {1}{2}}y&+{\frac {1}{2}}z&=&1\\&2y&+z&=&5\end{array}}\right.}$

Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrcr}2x&&-2z&=&6\\&{\frac {1}{2}}y&+{\frac {1}{2}}z&=&1\\&&-z&=&1\end{array}}\right.}$

Entonces podemos resolver por Gauss al sustituir en el sistema de ecuaciones el valor de ${\displaystyle z}$ continuando con las incógnitas anteriores de abajo hacia arriba y de derecha a izquierda obteniendo el valor de todas las incógnitas. Si continuamos con la variante de Gauss-Jordan eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrcr}2x&&&=&4\\&{\frac {1}{2}}y&&=&{\frac {3}{2}}\\&&-z&=&1\end{array}}\right.}$

Despejando, podemos ver las soluciones:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrcr}x&&&=&2\\&y&&=&3\\&&z&=&-1\end{array}}\right.}$

Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial:

Primero:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]}$

Después,

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}2&0&0&4\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]}$

Por último.

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}$

Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}0&0&0&a\\\end{array}}\right]}$

Que representa la ecuación: ${\displaystyle 0x+0y+0z=a}$, donde a ≠ 0. Es decir, ${\displaystyle 0=a}$, lo que supone una contradicción y, por tanto, no tiene solución. En el caso de que a=0 el sistema tiene varias soluciones.

Dos formas especiales de matrices son la escalonada y la escalonada reducida. Una matriz puede tener las siguientes propiedades:

1. Todas las filas 0 están en la de la parte inferior de la matriz.
2. El primer elemento diferente de cero de cada fila, este es llamado "pivote"; está a la derecha del pivote de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero).

Si una matriz A cumple con esas propiedades, se dice escalonada. Además, cumpliendo estas otras condiciones que detallaremos a continuación, decimos que la matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por filas, o simplemente en forma escalonada reducida.

1. Todos los elementos delanteros ("pivotes") son iguales a 1
2. Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos.

Cuando una matriz representa a un sistema de ecuaciones situaciones como tener una columna de ceros parece imposible ya que correspondería a una variable que nunca habría aparecido. Sin embargo esta situación puede presentarse (imaginemos la ecuación de un plano en el espacio en la que no aparece alguna de las componentes, por ejemplo y+z=5). Así la matriz

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrrr}1&4&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&-1\\\end{array}}\right]}$

también es una matriz escalonada.

Una vez que la matriz del sistema se ha transformado hasta obtener una matriz escalonada reducida es muy fácil discutirlo (es decir, determinar cuántas soluciones tiene):

1. Cuando aparece un pivote en la columna de los términos independientes el sistema es incompatible (no tiene ninguna solución).
2. En otro caso el sistema es compatible. Si además el número de pivotes coincide con el número de incógnitas el sistema es compatible determinado (tiene una única solución). Cuando el número de pivotes es menor que el número de incógnitas el sistema es indeterminado (tiene infinitas soluciones que dependen de tantos parámetros como indique la diferencia entre el número de incógnitas y el número de pivotes).

• Álgebra elemental
• Álgebra lineal

• Strang, Gilbert (2016). Introduction to linear algebra (en inglés) (5ª edición). Wellesley, USA: Wellesley-Cambridge Press. pp. 31-91. ISBN 978-0-9802327-7-6. OCLC 956503593. Consultado el 10 de noviembre de 2020.
• Atkinson, Kendall A. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd edición), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0471624899..
• Bolch, Gunter; Greiner, Stefan; de Meer, Hermann; Trivedi, Kishor S. (2006), Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications (2nd edición), Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-79156-0..
• Calinger, Ronald (1999), A Contextual History of Mathematics, Prentice Hall, ISBN 978-0-02-318285-3..
• Farebrother, R.W. (1988), Linear Least Squares Computations, STATISTICS: Textbooks and Monographs, Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-7661-9..
• Lauritzen, Niels, Undergraduate Convexity: From Fourier and Motzkin to Kuhn and Tucker..
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd edición), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9..
• Grcar, Joseph F. (2011a), «How ordinary elimination became Gaussian elimination», Historia Mathematica 38 (2): 163-218, S2CID 14259511, arXiv:0907.2397, doi:10.1016/j.hm.2010.06.003.
• Grcar, Joseph F. (2011b), «Mathematicians of Gaussian elimination», Notices of the American Mathematical Society 58 (6): 782-792.
• Higham, Nicholas (2002), Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (2nd edición), SIAM, ISBN 978-0-89871-521-7..
• Katz, Victor J. (2004), A History of Mathematics, Brief Version, Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-16193-2..
• Kaw, Autar; Kalu, Egwu (2010). «Numerical Methods with Applications: Chapter 04.06 Gaussian Elimination» (1st edición). University of South Florida. Archivado desde el original el 7 de septiembre de 2012.
• Lipson, Marc; Lipschutz, Seymour (2001), Schaum's outline of theory and problems of linear algebra, New York: McGraw-Hill, pp. 69-80, ISBN 978-0-07-136200-9..
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 2.2», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd edición), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, archivado desde el original|urlarchivo= requiere |url= (ayuda) el 19 de marzo de 2012, consultado el 17 de febrero de 2023.

• Un programa que realiza la eliminación de Gauss similar a un trabajo humano sobre el papel(Al final de la página.)
• www.math-linux.com Gaussian elimination.
• Gauss–Jordan Elimination Calculator (en inglés)
• Resolución En línea por Gauss Jordan (en español)