Energía de deformación

Cuando un sólido se deforma, en parte aumenta su energía interna, este aumento de energía puede ocasionar cambios termodinámicos reversibles y/o cambios termodinámicos irreversibles. Por tanto la energía de deformación admite la siguiente descomposición:

${\displaystyle E_{def}=E_{rev}+E_{irrev}\,}$

Donde el primer sumando es la energía invertida en provocar sólo transformaciones reversibles comúnmente llamada energía potencial elástica. El segundo sumando representa la energía invertida en diversos procesos irreversibles como: plastificar, fisurar o romper, etc. el sólido.

En el caso general de un sólido isótropo elástico, durante un proceso de deformación reversible a temperatura constante, los incrementos de energía potencial elástica w, de energía interna u y de energía libre de Helmholtz f = u + Ts por unidad de volumen son iguales:

${\displaystyle \Delta W=\Delta U=\Delta F\,}$

De hecho la energía libre de Helmholtz f por unidad de volumen está relacionada con las componentes ε_ij del tensor deformación mediante la siguiente relación:

${\displaystyle f(\epsilon _{ij})={\frac {\partial F}{\partial V}}=\lambda \left(\sum _{i=1}^{3}\epsilon _{ii}\right)^{2}+2\mu \sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\epsilon _{ij}^{2}}$

Y la conexión entre tensiones y deformaciones viene dada por relaciones termodinámicas, en concreto, si derivamos la energía libre de Helmholtz respecto a las componentes de deformación, llegamos a las ecuaciones de Hooke-Lamé en función de los coeficientes de Lamé:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\left({\frac {\partial f}{\partial \epsilon _{ij}}}\right)_{s}=\sigma _{ij}={\frac {E}{1+\nu }}\left[\epsilon _{ij}+{\frac {\nu \epsilon _{V}\delta _{ij}}{1-2\nu }}\right]\qquad \epsilon _{V}:=\epsilon _{xx}+\epsilon _{yy}+\epsilon _{zz}}$

La energía de deformación E_def o energía potencial elástica para un sólido deformable viene dada por el producto las componentes del tensor tensión y tensor deformación. Si además la deformación ocurre dentro del límite elástico, la energía de deformación viene dada por:

${\displaystyle {\begin{cases}E_{def}={\cfrac {1}{2}}\int _{V}\sum _{i,j}\sigma _{ij}\epsilon _{ij}dV\\E_{def}=\int _{V}{\cfrac {\sigma _{xx}^{2}+\sigma _{yy}^{2}+\sigma _{zz}^{2}-2\nu (\sigma _{xx}\sigma _{yy}+\sigma _{yy}\sigma _{zz}+\sigma _{zz}\sigma _{xx})}{2E}}+{\cfrac {\tau _{xy}^{2}+\tau _{yz}^{2}+\tau _{zx}^{2}}{2G}}dV\end{cases}}}$

Donde:

${\displaystyle \{\sigma _{ij}\}=\{\sigma _{xx},\sigma _{yy},\sigma _{zz},\tau _{xy},\tau _{yz},\tau _{zx}\}\,}$, son las componentes del tensor tensión.

${\displaystyle E,G\,}$, son respectivamente los módulos de elasticidad longitudinal y transversal.

Cuando un prisma mecánico como una viga o un pilar se encuentra sometido a un esfuerzo normal, de torsión, de flexión se producen tensiones y deformaciones relacionadas por la ley de Hooke. Existen métodos de cálculo de estructuras, en que al ocurrir una deformación, se efectúa un trabajo (similar a un resorte), por lo que es posible realizar el cálculo de deformaciones, con base al trabajo realizado por la deformación. A este método se le conoce como método energético.

Si se usa un sistema de coordenadas en que el eje baricéntrico de la barra coincide con el eje X y los ejes Y y Z con las direcciones principales de inercia de la sección, la energía de deformación por unidad de volumen de una barra recta (viga o pilar) sometida a extensión, torsión, flexión y cortante, viene dada por:

${\displaystyle e_{def}=e_{ext}+e_{flex}+e_{tor}+e_{fl-tr}\,}$

Donde ${\displaystyle e_{ext},e_{flex},e_{tor}\,}$ son las energías debidas únicamente a la extensión, la flexión impura y la torsión tomadas aisladamente. El término ${\displaystyle e_{fl-tr}\;}$ aparece sólo en piezas asimétricas donde el centro de cortante no coincide con el centro de gravedad. Las expresiones de estos términos de la energía de deformación cuando existen simultáneamente flexión y torsión son:

${\displaystyle e_{ext}={\frac {1}{2}}EA\left({\frac {du_{x}}{dx}}\right)^{2}}$

${\displaystyle e_{flex}={\frac {1}{2}}\left[EI_{y}\left({\frac {d\theta _{y}}{dx}}\right)^{2}+EI_{z}\left({\frac {d\theta _{z}}{dx}}\right)^{2}+GA\left({\frac {du_{z}}{dx}}+\theta _{y}\right)^{2}+GA\left({\frac {du_{y}}{dx}}-\theta _{z}\right)^{2}\right]}$

${\displaystyle e_{tor}={\frac {1}{2}}\left[GJ\left({\frac {d\theta _{x}}{dx}}\right)^{2}+{\frac {\kappa }{1-\kappa }}GJ\left({\frac {d\theta _{x}}{dx}}-\varphi \right)^{2}+EI_{\omega }\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}\right]}$

${\displaystyle e_{fl-tr}=GA\left[z_{C}\left({\frac {du_{y}}{dx}}-\theta _{z}\right)-y_{C}\left({\frac {du_{z}}{dx}}+\theta _{y}\right)\right]\left({\frac {d\theta _{x}}{dx}}-\varphi \right)}$

Donde:

${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y},u_{z})}$ es el vector de desplazamientos de los puntos del eje de la pieza.

${\displaystyle \theta _{x},\theta _{y},\theta _{z};\varphi }$ son los giros de los puntos de eje de la pieza, alrededor de los tres ejes y el giro de alabeo.

${\displaystyle A,I_{y},I_{z},J,I_{\omega }\,}$ son las características geométricas de la sección: el área transversal, el momento de inercia en Y, el momento de inercia en Z, el momento de torsión y el momento de alabeo, además ${\displaystyle \kappa =1-J/(I_{y}+I_{z})\,}$ es un parámetro a dimensional relacionado con los anteriores (ver prisma mecánico).

${\displaystyle (y_{C},z_{C})\,}$, son las coordenadas del centro de cortante.

Como puede verse para piezas con dos planos de simetría el término de acoplamiento flexión-torsión se anula y la energía de deformación es simplemente la suma de las energías de deformación asociadas a la extensión, flexión y torsión. A continuación desarrollamos los casos particulares de esta fórmula substituyendo las derivadas de los desplazamientos en función de los esfuerzos internos.

Frente a este tipo de energía y sobre lo que nos cuentan hay que tener en cuenta que un ejemplo o aplicación en el que evidenciamos la energía de deformación está presente en nuestra vida diaria ya que todos utilizamos ya sea una vez al día como muchas más los resortes ya sea en objetos como esferos, pinzas y demás elementos con resortes ya sean de compresión u otros.