Resorte

En física clásica, un resorte puede verse como un dispositivo que almacena energía potencial, específicamente energía de deformación, al tensar los enlaces entre los átomos de un material elástico.

La ley de Hooke de la elasticidad establece que la extensión de una barra elástica (su longitud extendida menos su longitud relajada) es linealmente proporcional a su tensión, la fuerza aplicada para estirarla. Del mismo modo, la contracción (extensión negativa) es proporcional a la compresión (tensión negativa).

Esta ley en realidad solo se aplica aproximadamente, y solo cuando la deformación (extensión o contracción) es pequeña en comparación con la longitud total de la barra. Para deformaciones más allá del límite elástico, los enlaces atómicos se rompen o se reorganizan, y un resorte puede romperse, doblarse o deformarse permanentemente. Muchos materiales no tienen un límite elástico claramente definido, y la ley de Hooke no puede aplicarse de manera significativa a estos materiales. Además, para los materiales superelásticos, la relación lineal entre fuerza y desplazamiento es apropiada solo en la región de baja tensión.

La ley de Hooke es una consecuencia matemática del hecho de que la energía potencial de la barra es mínima cuando tiene su longitud relajada. Cualquier función infinitamente diferenciable de una variable se aproxima a una función cuadrática cuando se examina lo suficientemente cerca de su punto mínimo, como se puede ver al examinar los términos de la serie de Taylor. Por lo tanto, la fuerza, que es la derivada de la energía con respecto al desplazamiento, se aproxima a una función lineal.

La fuerza de un resorte completamente comprimido toma la forma

${\displaystyle F_{max}={\frac {Ed^{4}(L-nd)}{16(1+\nu )(D-d)^{3}n}}\ }$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle E}$	Módulo de Young
${\displaystyle \nu }$	Coeficiente de Poisson
${\displaystyle n}$	Número de espiras activas
${\displaystyle D}$	Diámetro exterior del resorte
${\displaystyle d}$	Diámetro del alambre de resorte
${\displaystyle L}$	Longitud libre del resorte

Resorte de longitud cero es un término para un resorte helicoidal especialmente diseñado que ejercería una fuerza cero si tuviera una longitud cero. Si no hubiera ninguna restricción debido al diámetro de alambre finito de dicho resorte helicoidal, tendría una longitud cero en la condición no estirada. Es decir, en un gráfico lineal de la fuerza del resorte frente a su longitud, la línea pasaría a través del origen. Obviamente, un resorte helicoidal no puede contraerse a longitud cero, porque en algún momento las bobinas se tocan entre sí y el resorte ya no puede acortarse. Los muelles de longitud cero se fabrican mediante un resorte helicoidal con tensión incorporada (se introduce una torsión en el alambre a medida que se enrolla durante la fabricación, lo que funciona porque un resorte en espiral se "desenrolla" a medida que se estira), así que podría contraerse aún más, por lo que el punto de equilibrio del resorte, el punto en el que su fuerza de restauración es cero, ocurre a una longitud de cero. En la práctica, los resortes de longitud cero se hacen combinando un resorte de longitud negativa, hecho con aún más tensión para que su punto de equilibrio sea de longitud "negativa", con un trozo de material inelástico de la longitud adecuada para que el punto de fuerza cero se sitúe en la longitud cero.

Se puede unir un resorte de longitud cero a una masa en un brazo articulado de tal manera que la fuerza sobre el peso esté casi exactamente equilibrada por el componente vertical de la fuerza del resorte, sea cual sea la posición del brazo. Esto crea un "péndulo" horizontal con una oscilación de periodo muy largo. Estos péndulos permiten a los sismógrafos detectar las ondas más lentas de los terremotos. La suspensión LaCoste con muelles de longitud cero también se usa en gravímetros porque es muy sensible a los cambios de gravedad. Los resortes para cerrar puertas a menudo tienen una longitud de aproximadamente cero, de modo que ejercen fuerza incluso cuando la puerta está casi cerrada, para que puedan mantenerla cerrada firmemente.

La manera más sencilla de analizar un resorte físicamente es mediante su modelo ideal global y bajo la suposición de que este obedece la Ley de Hooke. establece así la ecuación del resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre el mismo con el alargamiento/contracción o elongación "x" producida, del siguiente modo:

${\displaystyle F=-kx\,}$,     siendo    ${\displaystyle k={\frac {AE}{L}}}$

${\displaystyle F=-kx\ }$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle k}$	Constante elástica del resorte
${\displaystyle x}$	Elongación (alargamiento producido)
${\displaystyle A}$	Sección del cilindro imaginario que envuelve al resorte
${\displaystyle E}$	Módulo de elasticidad del resorte (no confundir con el módulo de elasticidad del material)

La energía de deformación o energía potencial elástica ${\displaystyle U_{k}}$ asociada al estiramiento o acortamiento un resorte lineal viene dada por la integración de trabajo realizado en cada cambio infinitesimal ${\displaystyle dx\,}$ de su longitud:

${\displaystyle U_{k}=-\int _{0}^{x}F(x)\ dx=-\int _{0}^{x}-k(x)x\ dx\ ={\frac {1}{2}}kx^{2}}$

Si el resorte no es lineal entonces la rigidez del resorte es dependiente de su deformación y en ese caso se tiene una fórmula algo más general:

${\displaystyle U_{k}=\int _{0}^{x}k(x)\cdot x\ dx}$

Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando ${\displaystyle k}$ por la longitud total, y llamando al producto ${\displaystyle k_{i}}$ o k intrínseca, se tiene:

${\displaystyle k_{i}=AE\,}$    donde   ${\displaystyle k={\frac {k_{i}}{L}}}$

Llamaremos ${\displaystyle F(x)\,}$ a la tensión en una sección del muelle situada a una distancia ${\displaystyle x\,}$ de uno de sus extremos, que consideraremos fijo y que tomaremos como origen de coordenadas, ${\displaystyle k_{\Delta x}}$ a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud ${\displaystyle \Delta x\,}$ a la misma distancia y ${\displaystyle \delta _{\Delta x}\,}$ al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza ${\displaystyle F(x)\,}$. Por la ley del muelle completo:

${\displaystyle F(x)=-k_{\Delta x}\delta _{\Delta x}=k_{i}{\frac {\delta _{\Delta x}}{\Delta x}}}$

Tomando el límite:

${\displaystyle F(x)=-k_{i}{\frac {{\delta }_{dx}}{dx}}}$

que por el principio de superposición resulta:

${\displaystyle F\left(x\right)=-k_{i}{\frac {d{\delta }}{dx}}=-AE{\frac {d\delta }{dx}}}$

Si además suponemos que tanto la sección como el módulo de elasticidad pueden variar con la distancia al origen, la ecuación queda:

${\displaystyle F\left(x\right)=-k_{i}\left(x\right){\frac {d{\delta }}{dx}}=-A\left(x\right)E\left(x\right){\frac {d\delta }{dx}}}$

Que es la ecuación diferencial completa del muelle. Si se integra para todo x, de obtiene como resultado el valor del alargamiento unitario total. Normalmente puede considerarse F (x) constante e igual a la fuerza total aplicada. Cuando F (x) no es constante y se incluye en el razonamiento la inercia de este, se llega a la ecuación de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios.

Supongamos, por simplicidad, que tanto la sección del resorte, como su densidad (entendiendo densidad como la masa de un tramo de muelle dividida por el volumen del cilindro imaginario envolvente) y su módulo de elasticidad son constantes a lo largo del mismo y que el resorte es cilíndrico. Llamemos ${\displaystyle \Psi \left(x\right)}$ al desplazamiento de una sección de muelle. Ahora tomemos un tramo diferencial de muelle de longitud (dx). La masa de esa porción vendrá dada por:

${\displaystyle dm=\rho Adx}$

Aplicando la segunda ley de Newton a ese tramo:

${\displaystyle F\left(x\right)-F(x+dx)\left(x\right)=-dm{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}=-\rho Adx{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}}$

Es decir:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}dx=-\rho Adx{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}\rightarrow {\frac {\partial F}{\partial x}}=-\rho A{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}}$

Por otro lado es sencillo deducir que

${\displaystyle d\delta =\Psi \left(x+dx\right)-\Psi \left(x\right)={\frac {\partial \Psi }{\partial x}}dx}$

Al introducir, por tanto, esta expresión en la ecuación diferencial del muelle antes deducida, se llega a:

${\displaystyle F\left(x\right)=-AE{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}}$

Derivando esta expresión respecto a x se obtiene:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=-AE{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial x}^{2}}}}$

Juntando la expresión temporal con la expresión espacial se deduce finalmente la ecuación general de un muelle cilíndrico de sección, densidad y elasticidad constantes, que coincide exactamente con la ecuación de onda longitudinal:

${\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}\Psi \left(x,t\right)}{{\partial t}^{2}}}={\frac {E}{\rho }}\times {\frac {{\partial }^{2}\Psi \left(x,t\right)}{{\partial x}^{2}}}}$

De la que se deduce la velocidad de propagación de perturbaciones en un muelle ideal como:

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {E}{\rho }}}}$

Para el caso de un muelle con una masa suspendida,

${\displaystyle {\begin{cases}F=-kx\ \Rightarrow \ m{\cfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx\\{\cfrac {dx(0)}{dt}}=v_{0}\end{cases}}}$

Cuya solución es ${\displaystyle x=(v_{0}/\omega )\sin {\omega t}}$, es decir, la masa realiza un movimiento armónico simple de amplitud ${\displaystyle A_{0}=v_{0}/\omega }$ y frecuencia angular ${\displaystyle \omega }$. Derivando y sustituyendo:

${\displaystyle \ \displaystyle -\omega ^{2}{\frac {v_{0}}{\omega }}\sin \omega t=-{\frac {k}{m}}{\frac {v_{0}}{\omega }}\sin \omega t}$

Simplificando:

${\displaystyle \displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$

Esta ecuación relaciona la frecuencia natural con la rigidez del muelle y la masa suspendida.

Para un muelle de densidad variable, módulo de elasticidad variable y sección de la envolvente variable, la ecuación generalizada de las perturbaciones es la que sigue:

${\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}\Psi \left(x,t\right)}{{\partial t}^{2}}}={\frac {1}{\rho \left(x\right)}}\left[{\frac {\partial A\left(x\right)}{\partial x}}{\frac {E\left(x\right)}{A\left(x\right)}}+{\frac {\partial E\left(x\right)}{\partial x}}\right]{\frac {\partial \Psi \left(x,t\right)}{\partial x}}+{\frac {E\left(x\right)}{\rho \left(x\right)}}{\frac {{\partial }^{2}\Psi \left(x,t\right)}{{\partial x}^{2}}}}$

En un resorte de estas características, la onda viajera cambiaría su velocidad y, por tanto, su longitud de onda a lo largo del recorrido. Además, en unas zonas del muelle su amplitud sería mayor que en otras, es decir, la solución depende de tres funciones arbitrarias:

${\displaystyle \Psi (x,t)=A_{0}(x){\frac {f(x+c(x)t)+f(x-c(x)t)}{2}}}$

En el análisis de un resorte real, aparecen también ondas longitudinales, transversales y de torsión lo largo y ancho de las espira que se propagan a una velocidad que depende de la raíz cuadrada del módulo de elasticidad E del material para las longitudinales del módulo de elasticidad transversal G del material para las transversales y del módulo de torsión de la espira para las de torsión, divididas todas por la densidad del material.

Solución a condiciones iniciales senoidales

La solución general a la ecuación en derivadas parciales del muelle simplificado de longitud infinita se describe a continuación. Dadas las condiciones iniciales:

${\displaystyle \Psi (x,0)=f(x)\,}$

${\displaystyle {\Psi }_{t}(x,0)=g(x)\,}$

donde ${\displaystyle {\Psi }_{t}={\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\,}$, la función de D'Alembert solución a la ecuación de onda puede escribirse como:

${\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)ds}$

Tal solución admite que F y G puedan ser cualquier clase de funciones continuas ${\displaystyle \scriptstyle f(x)\in C^{k}}$ y ${\displaystyle \scriptstyle g(x)\in C^{k-1}}$ cuando ${\displaystyle \scriptstyle u(t,x)\in C^{k}}$.

Para un muelle de longitud finita L con sus extremos anclados, el problema se convierte en uno de contorno que puede resolverse mediante separación de variables con la teoría de Sturm-Liouville. Dadas unas condiciones iniciales como las anteriormente descritas y unas condiciones de contorno de extremos fijos. Las condiciones iniciales pueden desarrollarse en una serie de Fourier de la siguiente forma:

${\displaystyle f\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}}$

${\displaystyle g\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}{\frac {cn\pi }{L}}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}}$

En donde los coeficientes de Fourier se obtienen tras integrar las funciones f y g como sigue:

${\displaystyle A_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f\left(x\right)\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}dx}$

${\displaystyle B_{n}={\frac {2}{n\pi c}}\int _{0}^{L}g\left(x\right)\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}dx}$

para ${\displaystyle n=1,2,...}$

La solución a este problema queda escrita como sigue:

${\displaystyle \Psi (x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}\cos {\left({\frac {cn\pi t}{L}}\right)}+\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}\cos {\left({\frac {cn\pi t}{L}}\right)}}$

Una onda estacionaria. Los puntos rojos representan los nodos.