Equipotencia

Los conjuntos equipotentes tienen el mismo cardinal. La cardinalidad de un conjunto X es la medida del "número de elementos del conjunto".[1]

Un intento de definir la cardinalidad de un conjunto como una clase de equivalencia de todos los conjuntos equipotentes a este es problemático en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, la forma estándar de la teoría axiomática de conjuntos, debido a que la clase de equivalencia de cualquier conjunto no vacío sería demasiado grande para ser un conjunto: sería una clase propia. En el borrador de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, las relaciones están por definición restringidas a los conjuntos (una relación binaria en un conjunto A es el subconjunto del producto cartesiano ${\displaystyle A\times A}$) y por tanto no existe el concepto de conjunto de todos los conjuntos en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. En lugar de definir la cardinalidad de un conjunto como la clase de equivalencia de todos sus conjuntos equipotentes a él, se intenta asignar un conjunto representativo de cada clase de equivalencia (asignación cardinal). En otros sistemas de la teoría axiomática de conjuntos, p. ej. la teoría de conjuntos de Von-Neumann-Bernays-Gödel y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley, las relaciones se extienden a las clases.

Si existe una biyección entre los conjuntos A y B, se dice que son equipotentes y tienen el mismo cardinal, hecho que se denota por ${\displaystyle \left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert }$.

Si existe una inyección entre los conjuntos A y B, entonces el cardinal de A es menor o igual al cardinal de B, ${\displaystyle \left\vert A\right\vert \leq \left\vert B\right\vert }$. Si en este caso los cardinales de A y B son distintos, entonces se dice que el cardinal de A es menor que el cardinal de B, y se denota ${\displaystyle \left\vert A\right\vert <\left\vert B\right\vert }$. Si se mantiene el axioma de elección, entonces la ley de tricotomía se aplica a los números cardinales, por lo que dos conjuntos o bien son equipotentes, o uno es estrictamente menor que el otro[1].La ley de tricotomía para los números cardinales también implica el axioma de elección.[3]

El teorema de Schröder–Bernstein establece que dos conjuntos A y B para los que existen dos funciones inyectivas ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$y ${\displaystyle f:B\rightarrow A}$son equipotentes: si ${\displaystyle \left\vert A\right\vert \leq \left\vert B\right\vert }$y ${\displaystyle \left\vert B\right\vert \leq \left\vert A\right\vert }$, entonces ${\displaystyle \left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert }$.[1][3] Este teorema no depende del axioma de elección.

La Equipotencia tiene las propiedades características de una relación de equivalencia (reflexividad, simetría y transitividad):[1]

El Teorema de Cantor de 1891 establece que ningún conjunto es equipotente a su conjunto potencia (conjunto de todos sus subconjuntos).[1] Concretamente, el conjunto potencia de un conjunto infinito numerable es un conjunto no numerable.

Esto permite definir infinitos cada vez mayores comenzando por un solo conjunto infinito. Por ejemplo, dado el conjunto infinito N de los números naturales, podemos definir una secuencia N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N))), ... de conjuntos infinitos donde cada conjunto es el conjunto potencia del conjunto que le precede. Según el teorema de Cantor, el cardinal de cada conjunto en esta secuencia es estrictamente mayor que el del conjunto anterior, dando como resultado conjuntos infinitos cada vez mayores.

El trabajo de Cantor fue duramente criticado por sus contemporáneos , p. ej. Leopold Kronecker, quién se adhirió fuertemente a la filosofía de las matemáticas finitista[4] y rechazó la idea de que los números pudieran formar una totalidad completa propiamente dicha (un infinito actual). Sin embargo, las ideas de Cantor fueron defendidas por otros, p. ej. Richard Dedekind, y finalmente fueron ampliamente reconocidas, fuertemente respaldadas por David Hilbert. Véase la controversia sobre la teoría de Cantor.

En el borrador de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, el axioma del conjunto potencia garantiza la existencia de un conjunto potencia para cualquier conjunto dado. Además, el axioma del infinito garantiza la existencia de al menos un conjunto infinito, concretamente el conjunto que contiene a los números naturales. Existen teorías alternativas de conjuntos, p. ej., la teoría general de conjuntos, la teoría de conjuntos de Kripke–Platek, y la teoría de conjuntos de bolsillo, que omiten deliberadamente el axioma del conjunto potencia y el axioma del infinito y no permiten la definición de jerarquía de infinitos propuesta por Cantor.

Los cardinales correspondientes a los conjuntos N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N))), ... son los números de Beth ${\displaystyle \beth _{0}}$, ${\displaystyle \beth _{1}}$, ${\displaystyle \beth _{2}}$, ${\displaystyle \beth _{3}}$, ..., siendo ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$ (álef 0), el cardinal de un conjunto infinito numerable y ${\displaystyle \beth _{1}={\mathfrak {c}}}$, el cardinal del continuo.

En ocasiones, un conjunto es equipotente a algunos de sus subconjuntos propios, p. ej. el conjunto de los números naturales es equipotente al de los números naturales pares. Un conjunto así se denomina un conjunto infinito-Dedekind.[1][3]

El axioma de elección numerable (AC_ω), una variante débil del axioma de elección (AC), es necesario para demostrar que un conjunto que no es infinito-Dedekind es realmente finito. Los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección (ZF) no son suficientes para probar que todo conjunto infinito es infinito-Dedekind, pero los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección numerable (ZF + AC_ω) sí que son suficientes.[5] Otras definiciones de finito e infinito no requieren del axioma de elección para ello.[1]

La Equipotencia es compatible con las operaciones básicas entre conjuntos de forma que podemos definir la aritmética de cardinales.[1] Concretamente, es compatible con las uniones disjuntas: dados cuatro conjuntos A, B, C y D con A y C por un lado de B y D por otro, disjuntos dos a dos con ${\displaystyle A\sim B}$y ${\displaystyle C\sim D}$, entonces ${\displaystyle A\cup C\sim B\cup D}$. Esto es útil para demostrar la definición de suma cardinal.

Además, la equipotencia es compatible con el producto cartesiano:

• Si ${\displaystyle A\sim B}$y ${\displaystyle C\sim D}$, entonces ${\displaystyle A\times C\sim B\times D}$.
• ${\displaystyle A\times B\sim B\times A}$
• ${\displaystyle (A\times B)\times C\sim A\times (B\times C)}$

Estas propiedades son útiles para justificar la multiplicación cardinal.

Exponenciación:

• Si ${\displaystyle A\sim B}$ y ${\displaystyle C\sim D}$, entonces ${\displaystyle A^{C}\sim B^{D}}$(${\displaystyle X^{Y}}$denota el conjunto de las funciones desde Y hasta X).
• ${\displaystyle A^{B\cup C}\sim A^{B}\times A^{C}}$para B y C disjuntos.
• ${\displaystyle (A\times B)^{C}\sim A^{C}\times B^{C}}$
• ${\displaystyle (A^{B})^{C}\sim A^{B\times C}}$

Estas propiedades son útiles en la justificación de la exponenciación cardinal.

Además, el conjunto potencia de un conjunto A (el conjunto de los subconjuntos de A) es equipotente al conjunto ${\displaystyle 2^{A}}$, el conjunto de todas las funciones del conjunto A a un conjunto que contiene exactamente dos elementos.

En categoría de conjuntos, la categoría de todos los conjuntos con funciones como morfismos, un isomorfismo entre dos conjuntos is precisamente una biyección, y dos conjuntos son equipotentes si son isomorfos en esta categoría.

Fuera del ámbito de los conjuntos, el término Equinumerosidad fue empleado por Frege para definir relaciones entre conceptos. Su definición es:

"La expresión 'el concepto F es equinumeroso con el concepto G' significa lo mismo que la expresión 'hay una relación Φ que coordina biunívocamente los objetos que caen bajo el concepto F con los objetos que caen bajo el concepto G'."[6]

Dado un concepto cualquiera F, los objetos que caen bajo F forman un colectivo, que Frege denomina 'extensión de F'. La relación Φ al ser biunívoca, solo asocia elementos de un conjunto con uno solo de los elementos de otro conjunto, y cada elemento de este último con uno solo de los elementos del primero, es decir una biyección. Por lo tanto, la definición de Fregue para la equinumerosidad entre conceptos quedaría como una biyección de la extensión de un concepto F en la extensión de otro concepto G. Esta definición es la que se utiliza ahora en la teoría de conjuntos.

• Clase Combinatoria
• Conjunto numerable
• Función biyectiva
• Número cardinal
• Principio de Hume
• Teorema de Cantor-Bernstein-Schröder

• Esta obra contiene una traducción total derivada de «Equinomerosity» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión del 18 de junio de 2019, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.