Ernst Mally

Mally fue el primer lógico en intentar una axiomatización de la ética (Mally 1926). Usó cinco axiomas, que se dan a continuación. Forman una teoría de primer orden que cuantifica sobre proposiciones. Hay varios predicados que entender primero: ! x significa que x debería ser el caso. Ux significa que x es incondicionalmente obligatorio, es decir, que !X es necesariamente verdadera. ∩x significa que x está prohibido incondicionalmente, es decir, U (¬x). A f B es la relación binaria A requiere B, es decir, A implica materialmente !B. (Toda implicación en los axiomas es condicional material.) Está definida por el axioma III, mientras que todos los demás términos se definen como preliminares.

${\displaystyle {\begin{array}{rl}{\mbox{I.}}&((A\;\operatorname {f} \;B)\And (B\to C))\to (A\;\operatorname {f} \;C)\\{\mbox{II.}}&((A\;\operatorname {f} \;B)\And (A\;\operatorname {f} \;C))\to (A\;\operatorname {f} \;(B\And C))\\{\mbox{III.}}&(A\;\operatorname {f} \;B)\leftrightarrow \;!(A\to B)\\{\mbox{IV.}}&\exists U\;!U\\{\mbox{V.}}&\neg (U\;\operatorname {f} \;\bigcap )\end{array}}}$

Nótense los cuantificadores universales implícitos en los axiomas anteriores.

El cuarto axioma ha confundido a algunos lógicos porque su formulación no es como hubieran esperado, ya que Mally le dio a cada axioma una descripción en palabras también. Dijo que el axioma IV significa "lo incondicionalmente obligatorio es obligatorio", es decir (como muchos lógicos han insistido) UA →! A. Mientras tanto, el axioma 5 carece de un objeto al que se aplican los predicados, un error tipográfico. Sin embargo, resulta que estas son las preocupaciones más pequeñas de Mally (ver más abajo).

Teorema: esta axiomatización de lógica deóntica implica que !X si y solo si X es verdadero o !X no es satisfactorio. (Esto hace que sea inútil para los lógicos deónticos).

Prueba: Usando el axioma III, el axioma I puede reescribirse como (! (A → B) y (B → C)) →! (A → C). Dado que B → C se mantiene siempre que C se cumple, una consecuencia inmediata es que (! (A → B) → (C →! (A → C))). En otras palabras, si A requiere B, requiere cualquier declaración verdadera. En el caso especial donde A es una tautología, el teorema tiene consecuencias (! B → (C →! C)). Por lo tanto, si al menos una declaración debe ser verdadera, cada declaración debe implicar materialmente debe ser verdadera, y así toda declaración verdadera debe ser verdadera. En cuanto a lo contrario (es decir, si alguna afirmación debería ser cierta, entonces todas las afirmaciones que deberían ser verdaderas), considere la siguiente lógica: ((U →!A) & (A → ∩)) → (U →! ∩) es un caso especial del axioma I, pero su consecuente contradice el axioma V, y así ¬ ((U →! A) & (A → ∩)). El resultado !A → A puede mostrarse a partir de esto, ya que !A implica que U → !A y ¬A implica que A → ∩; y, como ambos no son ciertos, deducimos !A → A.

Mally pensó que el axioma era evidente por sí mismo, pero probablemente lo confundió con una alternativa en la que la implicación B → C es "lógica", lo que de hecho haría que el axioma fuera evidente. El teorema anterior, sin embargo, entonces no sería demostrable. El teorema fue probado por Karl Menger, el siguiente lógico deóntico. Ni los axiomas originales de Mally ni una modificación que evite este resultado siguen siendo populares hoy en día. Menger no sugirió sus propios axiomas. (Consulte también Lógica deóntica para obtener más información sobre el desarrollo posterior de este tema).

Mally desarrolló un enfoque realista a la ontología (Mally 1935) y se vio a sí mismo en oposición al Círculo de Viena y a los positivistas lógicos.