Teoría de Kummer

Una extensión de Kummer es una extensión de campo L/K, donde para un entero dado n>1 se tiene que

• K contiene n distintas raíces de la unidad enésimas (es decir, raíces de Xⁿ−1)
• L/K tiene un grupo de Galois abeliano de exponente n.

Por ejemplo, cuando n = 2, la primera condición siempre es verdadera si K tiene la característica ≠ 2. Las extensiones de Kummer en este caso incluyen extensiones cuadráticas ${\displaystyle L=K({\sqrt {a}})}$ donde a en K es un elemento no cuadrado. Por la solución habitual de ecuaciones cuadráticas, cualquier extensión de grado 2 de K tiene esta forma. Las extensiones de Kummer en este caso también incluyen extensiones bicuadráticas y extensiones multicuadráticas más generales. Cuando K tiene la característica 2, no existen tales extensiones de Kummer.

Tomando n = 3, no hay extensiones de Kummer de grado 3 del campo numérico racional Q, ya que para tres raíces cúbicas de 1 se requieren números complejos. Si se considera que L es el campo de división de (X³ − a) sobre Q, donde a no es un cubo en los números racionales, L contiene un subcampo K con tres raíces cúbicas de 1. Esto se debe a que si α y β son raíces del polinomio cúbico, se tendrá que (α/β)³ = 1 y la cúbica es un polinomio separable. Entonces L/K es una extensión de Kummer.

De manera más general, es cierto que cuando K contiene n raíces enésimas de la unidad distintas, lo que implica que la característica de K no divide n, entonces contiguo a K la enésima raíz de cualquier elemento a de K crea una extensión de Kummer (de grado m, para algunos m dividiendo n). Como el campo de división del polinomio (Xⁿ − a), la extensión de Kummer es necesariamente de Galois, con un grupo de Galois que es cíclico de orden m. Es fácil seguir la acción de Galois a través de la raíz de la unidad frente a ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}.}$

La teoría de Kummer proporciona declaraciones inversas. Cuando K contiene n raíces enésimas de la unidad distintas, se establece que cualquier extensión abeliana de K de exponente dividiendo n se forma mediante la extracción de raíces de elementos de K. Además, si K^× denota el grupo multiplicativo de elementos distintos de cero de K, las extensiones abelianas de K del exponente n corresponden biyectivamente con subgrupos de

${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

es decir, elementos de K^× módulo enésimas potencias. La correspondencia se puede describir explícitamente de la siguiente manera. Dado un subgrupo

${\displaystyle \Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

la extensión correspondiente está dada por

${\displaystyle K\left(\Delta ^{\frac {1}{n}}\right),}$

donde

${\displaystyle \Delta ^{\frac {1}{n}}=\left\{{\sqrt[{n}]{a}}:a\in K^{\times },a\cdot \left(K^{\times }\right)^{n}\in \Delta \right\}.}$

De hecho, es suficiente unir la enésima raíz de un representante de cada elemento de cualquier conjunto de generadores del grupo Δ. Por el contrario, si L es una extensión de Kummer de K, entonces la regla recupera Δ

${\displaystyle \Delta =\left(K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}\right)/(K^{\times })^{n}.}$

En este caso existe un isomorfismo.

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$

dado por

${\displaystyle a\mapsto \left(\sigma \mapsto {\frac {\sigma (\alpha )}{\alpha }}\right),}$

donde α es cualquier raíz enésima de a en L. Aquí ${\displaystyle \mu _{n}}$ denota el grupo multiplicativo de enésimas raíces de la unidad (que pertenecen a K) y ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$ es el grupo de homomorfismos continuos de ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ equipado con topología de Krull para ${\displaystyle \mu _{n}}$ con topología discreta (con operación grupal dada por multiplicación puntual). Este grupo (con topología discreta) también se puede ver como una dualidad de Pontryagin de ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$, suponiendo que se tenga en cuenta ${\displaystyle \mu _{n}}$ como un subgrupo del grupo circular. Si la extensión L/K es finita, entonces ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ es un grupo discreto finito y se tiene que

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})\cong \operatorname {Gal} (L/K),}$

Sin embargo, el último isomorfismo no es natural.

Supóngase que G es un grupo profinito que actúa sobre un módulo A con un homomorfismo suryectivo π con G módulo A sobre sí mismo. Supóngase también que G actúa trivialmente en el núcleo C de π y que el primer grupo de cohomología H¹ (G, A) es trivial. Entonces, la secuencia exacta de la cohomología del grupo muestra que existe un isomorfismo entre A^G/π(A^G) y Hom(G, C).

La teoría de Kummer es el caso especial del supuesto anterior cuando A es el grupo multiplicativo del cierre separable de un campo k, G es el grupo de Galois, π es la aplicacióne de la nésima potencia, y C el grupo de nenésimastaíces de la unidad. La teoría de Artin-Schreier es el caso especial cuando A es el grupo aditivo del cierre separable de un campo k de característica positiva p, G es el grupo de Galois, π es el endomorfismo de Frobenius menos la identidad y C el campo finito de orden p. Si se considera que A es un anillo de vectores de Witt truncados, se obtiene la generalización de Witt de la teoría de Artin-Schreier a extensiones de exponentes que dividen pⁿ.

• Campo cuadrático

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Kummer extension», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
• Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.III, pp. 85–93.