Filtro comb

Para obtener la respuesta en frecuencia de un sistema temporalmente discreto expresado en el dominio complejo Z, hacemos la sustitución ${\displaystyle z=e^{j\omega }}$. Para nuestro filtro comb FIR tenemos:

${\displaystyle \ H(e^{j\omega })=1+\alpha e^{-j\omega K}}$

Uno de los parámetros de interés es su respuesta en magnitud, ignorando la fase. Ésta queda definida como:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \ | H(e^{j \omega}) | = \sqrt{\Re\{H(e^{j \omega})\}^2 + \Im\{H(e^{j \omega})\}^2}}

En el caso de un filtro FIR es:

${\displaystyle \ |H(e^{j\omega })|={\sqrt {(1+\alpha ^{2})+2\alpha \cos(\omega K)}}}$

Nótese que el término ${\displaystyle (1+\alpha ^{2})}$ es constante, con lo que el término ${\displaystyle 2\alpha \cos(\omega K)}$ varía periódicamente. Por lo tanto la respuesta en magnitud de un filtro FIR es periódica.

Los gráficos a la derecha muestran la respuesta en magnitud para varios valores de ${\displaystyle \alpha }$, demostrando esta periodicidad. Algunas propiedades importantes:

• La respuesta periódicamente decae hasta un mínimo local (conocido a veces como notch), y luego crece hasta un máximo local (también conocido como peak).

• Los niveles máximos y mínimos están siempre equidistantes de 1.

• Cuando ${\displaystyle \alpha =\pm 1}$, el mínimo tiene amplitud 0. En este caso el mínimo es conocido como cero.

• El máximo de los valores positivos de ${\displaystyle \alpha }$ coincide con el mínimo de los valores negativos de ${\displaystyle \alpha }$, y viceversa.

Mirando nuevamente a la función de transferencia en el dominio complejo Z de un filtro comb FIR:

${\displaystyle \ H(z)={\frac {z^{K}+\alpha }{z^{K}}}}$

vemos que el numerador es igual a cero cuando ${\displaystyle z^{K}=-\alpha }$. Tiene por tanto ${\displaystyle K}$ soluciones, que graficadas se encuentran igualmente espaciadas alrededor de un círculo en el plano complejo; esos son los ceros de la función de transferencia. El denominador es cero cuando ${\displaystyle z^{K}=0}$, dando ${\displaystyle K}$ polos en ${\displaystyle z=0}$. El gráfico correspondiente se ve abajo.

Gráfico de polos y ceros de un filtro comb FIR con ${\displaystyle K=8}$ y ${\displaystyle \alpha =0.5}$.

Gráfico de polos y ceros de un filtro comb FIR con ${\displaystyle K=8}$ y ${\displaystyle \alpha =-0.5}$.

Si hacemos la sustitución ${\displaystyle z=e^{j\omega }}$ en el dominio complejo Z, obtenemos la siguiente expresión para los filtros comb IIR:

${\displaystyle \ H(e^{j\omega })={\frac {1}{1-\alpha e^{-j\omega K}}}}$

La respuesta en magnitud se calcula entonces:

${\displaystyle \ |H(e^{j\omega })|={\frac {1}{\sqrt {(1+\alpha ^{2})-2\alpha \cos(\omega K)}}}}$

Nuevamente, la respuesta es periódica, como demuestra el gráfico a la derecha. El filtro comb IIR tiene algunas propiedades en común con los FIR:

• La respuesta periódicamente decae hasta un mínimo local y crece hasta un máximo local.

• El máximo de los valores positivos de ${\displaystyle \alpha }$ coincide con el mínimo de los valores negativos de ${\displaystyle \alpha }$, y viceversa.

De cualquier manera existen diferencias importantes, debido a que la respuesta en magnitud depende de un término ubicado en el denominador:

• Los niveles de los máximos y mínimos no son equidistantes de 1.

• El filtro es estable sólo si ${\displaystyle |\alpha |}$ es menor que 1. Como podemos ver en los gráficos, cuando ${\displaystyle |\alpha |}$ crece, las amplitudes de los picos máximos suben rápidamente.

Mirando nuevamente la función de transferencia en el dominio Z de un filtro comb IIR:

${\displaystyle \ H(z)={\frac {z^{K}}{z^{K}-\alpha }}}$

Esta vez, el numerador es cero siempre que ${\displaystyle z^{K}=0}$, dando ${\displaystyle K}$ ceros cuando ${\displaystyle z=0}$. El denominador es igual a cero cuando ${\displaystyle z^{K}=\alpha }$. Esto tiene ${\displaystyle K}$ soluciones posibles, igualmente espaciadas alrededor de un círculo ubicado en el plano complejo; esos son los polos de la función de transferencia. Esto produce un gráfico como el que se muestra a continuación.

Gráfico de polos y ceros de un filtro comb IIR con ${\displaystyle K=8}$ y ${\displaystyle \alpha =0.5}$.

Gráfico de polos y ceros de un filtro comb IIR con ${\displaystyle K=8}$ y ${\displaystyle \alpha =-0.5}$.