Arcotangente

Función arcotangente
	; Gráfica de Función arcotangente
Definición	;
Tipo	Trigonométrica inversa
Dominio
Codominio
Imagen
Cálculo infinitesimal
Derivada
Función inversa
Límites	;
Funciones relacionadas	arcocoseno; arcoseno

En trigonometría, la arcotangente se define como la función inversa de la tangente de un ángulo. Simbolizada:

y=\operatorname {arctg} \alpha \,

su significado geométrico es el arco $y$ (en radianes) cuya tangente es $\alpha$ .

La función tangente no es biyectiva, por lo que no tiene función inversa definida en todo su dominio. Es posible aplicarle una restricción del dominio de modo que se vuelva inyectiva y sobreyectiva. Por convenio es preferible restringir el dominio de la función tangente al intervalo abierto $\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)$ .

Notación

La notación matemática de la arcotangente es arctan; es común la escritura ambigua tan^-1. En diversos lenguajes de programación se suelen utilizar las formas ATN, ATAN, ARCTAN, ARCTG y ATG.

Propiedades

Es una función continua y derivable, de clase ${\mathcal {C}}^{\infty }$ (es decir, existen sus derivadas de todos los órdenes).

Es una función impar, o sea que $\operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} (x)$ .

Algunos valores especiales

\operatorname {arctg} (0)=0

\operatorname {arctg} \left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)={\frac {\pi }{6}}

\operatorname {arctg} (1)={\frac {\pi }{4}}

\operatorname {arctg} ({\sqrt {3}})={\frac {\pi }{3}}

Límites en infinito

\lim _{x\to \infty }\operatorname {arctg} (x)={\frac {\pi }{2}}

\lim _{x\to -\infty }\operatorname {arctg} (x)=-{\frac {\pi }{2}}

Derivadas y crecimiento

$(\operatorname {arctg} (x))'={\frac {1}{x^{2}+1}}$

En particular, resulta ser una función estrictamente creciente.

$(\operatorname {arctg} (x))''=-{\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}$ , que es positivo en $\mathbb {R} ^{-}$ y negativo en $\mathbb {R} ^{+}$ .

Integral indefinida

Utilizando el método de integración por partes puede calcularse una función primitiva de $\operatorname {arctg} (x)$ :

$\int \operatorname {arctg} (x)\ dx=$ $\int \operatorname {arctg} (x)\cdot 1\ dx=$ $\operatorname {arctg} (x)\cdot x\ -\ \int x\cdot {\frac {1}{x^{2}+1}}dx=$ $\operatorname {arctg} (x)\cdot x\ -\ {\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+1)\ +\ C$

Serie de Maclaurin

\operatorname {arctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1.

Aplicaciones

En un triángulo rectángulo, la arcotangente equivale a la expresión en radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto opuesto y su cateto adyacente.

Véase también

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Arcotangente». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Weisstein, Eric W. «Arcocotangente». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Datos: Q2257242
Multimedia: Arc tangent function / Q2257242

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