Función de riesgo

Gráfico de la distribución exponencial para distintos valores de ${\displaystyle \lambda }$.

Sea ${\displaystyle T}$ una variable aleatoria definida sobre el intervalo [0, ∞) que indica el tiempo de sobrevivencia de un determinado objeto, dicho de otro modo, hasta que se produzca la primera falla. Sea ${\displaystyle F(t)}$ su función de distribución. Entonces, la probabilidad que un objeto presente una falla antes de un tiempo ${\displaystyle t}$, puede expresarse como:

${\displaystyle \operatorname {Pr} (T\leq t)=F(t)=1-R(t),\quad t\geq 0.\!}$

Donde ${\displaystyle R(t)}$ es la función de confiabilidad o supervivencia, es decir, la probabilidad que un determinado objeto sobreviva más allá de un tiempo ${\displaystyle t}$.

Si ${\displaystyle f(t)}$ es su correspondiente función de densidad, es decir,

${\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}f(x)\,dx,\!}$

entonces la función de riesgo es

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{1-F(t)}}={\frac {f(t)}{R(t)}}.\!}$

Si la supervivencia está regida por una distribución exponencial de parámetro ${\displaystyle \lambda }$, entonces,

${\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=1-e^{-\lambda t}\!}$

y la función de riesgo es

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{R(t)}}={\frac {\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}}}=\lambda .}$

Por lo tanto, en este caso la función de riesgo es constante en el tiempo.

• Borges, R. (2005). Análisis de sobrevivencia utilizando el Lenguaje R. XV Simposio de Estadística, Paipa, Colombia. Disponible en PDF