Grafo ponderado

Formalmente, un grafo ponderado se puede definir como un trío ordenado ${\displaystyle G_{\pm }=(V,E,W)}$, donde ${\displaystyle V=\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}}$ es su conjunto de vértices, ${\displaystyle E=\{e_{1},\ldots ,e_{m}\}}$ es su conjunto de aristas, y ${\displaystyle W=\{w_{1},\ldots ,w_{m}\}}$ es el conjunto de pesos asociados a cada arista.[1] Asimismo, ${\displaystyle W}$ se puede representar también como una función de asignación de pesos ${\displaystyle w:E\to \mathbb {R} }$, de modo que para cualquier arista ${\displaystyle e\in E}$, su peso es ${\displaystyle w(e)\in \mathbb {R} }$. Dado que cualquier conjunto finito de valores se puede asociar a un subconjunto de los números reales, las aristas también admiten solo números enteros, o bien valores no numéricos, tales como letras o colores. En redes sociales, es común restringirse a números naturales.[1]

Por definición, los grafos signados son un caso particular de grafos ponderados, en que los valores válidos para cada arista se reducen a un valor booleano, 0 o 1, o bien -1 o +1. Asimismo, un grafo normal sin valores en las aristas también se puede considerar un caso particular de grafo ponderado, en que todas las aristas tienen un mismo valor 1.[1]

Varias métricas para grafos o redes sin aristas valoradas pueden ser adaptadas para grafos ponderados. Por ejemplo, las medidas de centralidad clásicas como el grado,[2] cercanía[3] o intermediación,[4][5] también pueden considerar los pesos de las aristas. Asimismo, el coeficiente de agrupamiento global y local también se puede aplicar considerando ternas de valores[6][2] o fórmulas algebraicas.[7] Las trayectorias basadas en la noción de camino también se pueden definir para aristas valoradas, estando bien definidos conceptos de valor y longitud de un camino, así como de accesibilidad entre vértices.[1]

Una ventaja teórica de los grafos ponderados es que permiten derivar relaciones entre diferentes métricas de la red, también llamados conceptos de red, estadísticos o índices.[8] Por ejemplo, simples relaciones entre métricas de la red pueden derivarse a partir de grupos de nodos (comunidades) en las redes ponderadas.[9] Para las redes ponderadas de correlación, puede usarse la interpretación angular de las correlaciones para proporcionar una interpretación geométrica de los conceptos teóricos de la red, y derivar relaciones inesperadas entre ellas.[10]

En general, medir o registrar la importancia de los diferentes enlaces, permite crear grafos ponderados que capturan más información que los grafos sin pesos.[11]

Cadenas de Márkov

Ejemplo de una cadena de Márkov.

En teoría de la probabilidad, los grafos ponderados pueden restringirse a valores de probabilidades entre 0 y 1, esto es, funciones de pesos ${\displaystyle w:E\to [0,1]}$, para representar procesos estocásticos conocidos como cadenas de Márkov. En estos grafos, además, la suma de los pesos incidentes desde cada nodo suman 1.[1] A las sociomatrices o matrices de adyacencia de dichos grafos se les conoce como matriz de transiciones o matrices estocásticas.[17]

Existe un gran número de paquetes de software que pueden usarse para analizar redes ponderadas. Entre estos se encuentran el software propietario UCINET y el paquete de código abierto tnet.[18] El paquete de R, WGCNA,[19] implementa funciones para construir y analizar redes ponderadas, particularmente redes de correlación.[16] En general, la gran mayoría de herramientas para análisis de redes sociales permiten trabajar con grafos ponderados.

• Grafo signado
• Grafo etiquetado

• Wasserman, Stanley; Faust, Katherine (2013) [1994]. Análisis de redes sociales: Métodos y aplicaciones. Madrid: Centro de Investigaciones Sociológicas. ISBN 978-84-7476-631-8. OCLC 871814053.