Gran icosidodecaedro romo invertido

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un gran icosidodecaedro romo invertido son todas las permutaciones pares (con un número par de signos más) de:

(+2α, +2, +2β),

(+(α−βτ−1/τ), +plusmn;(α/τ+β−τ), ±(−ατ−β/τ− 1)),

(+(ατ−β/τ+1), ±(−α−βτ+1/τ), ±(−α/τ+β+ τ)),

(+(ατ−β/τ−1), ±(α+βτ+1/τ), ±(−α/τ+β−&tau ;)) y

(+(α−βτ+1/τ), ±(−α/τ−β−τ), ±(−ατ−β/τ +1)),

donde

&alfa; = ξ−1/ξ

y

β = −ξ/τ+1/τ²−1/(ξτ),

donde τ = (1+√5)/2 es el número áureo y ξ es la solución real positiva mayor de ξ³−2ξ=−1/τ, o aproximadamente 1,2224727. Tomando las permutaciones impares (con un número impar de signos más) de las coordenadas anteriores, se obtiene una forma enantiomorfa de la anterior.

El circunradio para la arista de longitud unidad es:

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0.816081\dots }$

donde ${\displaystyle x}$ es la raíz propia de ${\displaystyle x^{3}+2x^{2}={\Big (}{\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{2}}$. Las cuatro raíces reales positivas de la ecuación de sexto grado en ${\displaystyle R^{2},}$

${\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}$

son los circunradios del dodecaedro romo (U₂₉), del gran icosidodecaedro romo (U₅₇), del gran icosidodecaedro romo invertido (U₆₉) y del gran icosidodecaedro retrorromo (U₇₄).

Sean ${\displaystyle \phi }$ el número áureo y ${\displaystyle \xi \approx 0.252\,780\,289\,27}$ el cero positivo más pequeño del polinomio ${\displaystyle P=8x^{3}-8x^{2}+\phi ^{-2}}$. Entonces, cada cara pentagonal tiene cuatro ángulos iguales de ${\displaystyle \arccos(\xi )\approx 75.357\,903\,417\,42^{\circ }}$ y un ángulo de ${\displaystyle 360^{\circ }-\arccos(-\phi ^{-1}+\phi ^{-2}\xi )\approx 238.568\,386\,330\,33^{\circ }}$. Cada cara tiene tres aristas largas y dos cortas. La relación ${\displaystyle l}$ entre las longitudes de los bordes largo y corto está dada por:

${\displaystyle l={\frac {2-4\xi ^{2}}{1-2\xi }}\approx 3.528\,053\,034\,81}$.

Su ángulo diedro es igual a ${\displaystyle \arccos(\xi /(\xi +1))\approx 78.359\,199\,060\,62^{\circ }}$. Parte de cada una de las caras se encuentra dentro de la figura, por lo que no son totalmente visibles en los modelos sólidos. Los otros dos ceros del polinomio ${\displaystyle P}$ juegan un papel similar en la descripción del gran icosidodecaedro romo y del gran hexecontaedro pentagrámico.

• Anexo:Poliedros uniformes
• Gran icosidodecaedro romo
• Gran icosidodecaedro retrorromo

• Weisstein, Eric W. «Great inverted pentagonal hexecontahedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric W. «Great inverted snub icosidodecahedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.