Símbolo de Schläfli

El símbolo de Schläfli es una descripción recursiva. Comenzando con un polígono regular de ${\displaystyle \scriptstyle p\,}$ lados con el símbolo ${\displaystyle \scriptstyle {p}\,}$. Por ejemplo, ${\displaystyle \scriptstyle \{3\}}$ es el triángulo equilátero, ${\displaystyle \scriptstyle \{4\}}$ es el cuadrado, ${\displaystyle \scriptstyle \{5\}}$ es el pentágono regular, etc.

Un poliedro regular, el cual tiene caras regulares de ${\displaystyle \scriptstyle p\,}$ lados, ${\displaystyle \scriptstyle q\,}$ en torno de cada vértice, se representa por ${\displaystyle \scriptstyle \{p,\,q\}}$. Por ejemplo, el cubo tiene ${\displaystyle \scriptstyle 6}$ cuadrados ${\displaystyle \scriptstyle \{4\}}$, ${\displaystyle \scriptstyle 3}$ en torno de cada vértice y se representa por ${\displaystyle \scriptstyle \{4,\,3\}}$.

Un ${\displaystyle \scriptstyle 4}$–politopo (de cuatro dimensiones) con celdas poliédricas ${\displaystyle \scriptstyle \{p,\,q\}}$, ${\displaystyle \scriptstyle r}$ en torno de cada vértice se representa por ${\displaystyle \scriptstyle \{p,\,q,\,r\}}$. El hipercubo de cuatro dimensiones, por ej. es ${\displaystyle \scriptstyle \{4,\,3,\,3\}}$.

En general, un politopo ${\displaystyle \scriptstyle n}$–dimensional está formado de facetas ${\displaystyle \scriptstyle n}$–dimensionales, ${\displaystyle \scriptstyle \{p,\,q,\,r,...,\,v\}}$, ${\displaystyle \scriptstyle w}$ en torno de cada vértice, de esta manera su símbolo es ${\displaystyle \scriptstyle \{p,\,q,\,r,...,\,v,\,w\}}$.

Para ciertos fines, el símbolo de un segmento de recta unitario es ${\displaystyle \scriptstyle \{\,\}}$.

Los politopos regulares pueden tener elementos que sean polígonos estrellados (también denominados en ocasiones estelados), cuyo símbolo es ${\displaystyle \scriptstyle \left\{{\tfrac {p}{s}}\right\}}$. La fracción ${\displaystyle \scriptstyle {\tfrac {p}{s}}}$ debe ser irreductible, esto es, ${\displaystyle \scriptstyle p}$ y ${\displaystyle \scriptstyle q}$ deben ser primos relativos. Así, por ej. ${\displaystyle \scriptstyle \left\{{\tfrac {8}{3}}\right\}}$ representa una estrella de ${\displaystyle \scriptstyle 8}$ vértices, tomados de ${\displaystyle \scriptstyle 3}$ en ${\displaystyle \scriptstyle 3}$. Otro ej. es el gran dodecaedro estrellado ${\displaystyle \scriptstyle \left\{{\tfrac {5}{2}},\,3\right\}}$ está formado por ${\displaystyle \scriptstyle 12}$ pentagramas ${\displaystyle \scriptstyle \left\{{\tfrac {5}{2}}\right\}}$, ${\displaystyle \scriptstyle 3}$ en torno de cada vértice.

Un politopo regular tiene un politopo dual, representado por los elementos de símbolo de Schläfli en orden inverso. Un politopo regular auto dual tendrá un símbolo de Schläfli simétrico.

La faceta de un politopo regular ${\displaystyle \scriptstyle \{p,\,q,\,r,\,...,\,v,\,w\}}$ es ${\displaystyle \scriptstyle \{p,\,q,\,r,\,...,\,v\}}$.

Cada politopo regular ${\displaystyle \scriptstyle \{p,\,q,\,r,\,...,\,w\}}$ tiene una figura de vértice regular ${\displaystyle \scriptstyle \{q,\,r,\,...,\,w\}}$. Comúnmente, se supone que la figura de vértice es un politopo finito, pero en ocasiones puede considerarse como un teselado mismo.

Un símbolo de Schläfli puede representar a un poliedro convexo finito, un teselado infinito en el espacio euclidiano o un teselado infinito en el espacio hiperbólico, dependiendo del defecto (angular) de la construcción. Un defecto positivo permite que la figura de vértice se doble a otra dimensión forma un lazo hasta encontrarse consigo mismo para formar un politopo. Un defecto igual a cero llenará el espacio de la misma dimensión que las facetas. Un defecto negativo no puede existir en el espacio ordinario, pero puede construirse en el espacio hiperbólico.

Un símbolo de Schläfli ${\displaystyle \scriptstyle \{p,\,q,\,r,\,...,\,w\}}$ está estrechamente relacionado con los grupos de simetría de reflexión, también llamados grupos de Coxeter, formado con los mismos índices, pero en lugar de llaves, corchetes: ${\displaystyle \scriptstyle [\,p,\,q,\,r,\,...,\,w\,]}$. A menudo se llaman tales grupos como los politopos regulares que generan. Por ej. ${\displaystyle \scriptstyle [3,\,4]}$ es el grupo de Coxeter para la simetría octaédrica (O_h).

Este símbolo toma su nombre del matemático suizo del siglo XIX Ludwig Schläfli (1814-1895), quien hizo contribuciones fundamentales a la geometría multidimensional.

• Estrella mágica
• Fractal (especialmente copo de nieve y anticopo de nieve)
• Número de oro

En geometría, el símbolo de Schläfli es una notación simple de la forma

que proporciona un sumario de algunas propiedades importantes de un politopo regular o de una teselación (teselado o embaldosado) regular. Debe su nombre al matemático suizo Ludwig Schläfli, quien hizo importantes contribuciones a la geometría y a otras áreas de la matemática.

• Coxeter, H. S. M. (1973). Regular polytopes (en inglés) (3.ª edición). Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8.

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Schläfli symbol» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.