Hermann Schwarz

En análisis es conocido este teorema para comprobar la derivabilidad de una función de varias variables.

Sea ${\displaystyle f:A\subseteq \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} }$ una función cuyas derivadas parciales segundas son continuas, entonces se cumple que son simétricas.[2]

• ${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx\,dy}}={\frac {d^{2}f}{dy\,dx}}}$

De forma más general, se puede extender a una función vectorial ${\displaystyle F:A\subseteq \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ donde, para dos derivadas parciales de cualquier variable ${\displaystyle x_{i},x_{j}}$ con ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$, se cumple que

• ${\displaystyle {\frac {d^{2}F}{dx_{i}\,dx_{j}}}={\frac {d^{2}F}{dx_{j}\,dx_{i}}}}$

Esta simetría que se aplica a la segunda derivada, se extiende a todas las derivadas, en el caso de que las derivadas sucesivas de la función sean continuas. Por ejemplo, en la tercera derivada ocurre que

• ${\displaystyle {\frac {d^{3}f}{dx\,dx\,dy}}={\frac {d^{3}f}{dx\,dy\,dx}}={\frac {d^{3}f}{dy\,dx\,dx}}}$

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz
• Lema de Schwarz
• Teorema de Schwarz
• Transformada de Schwarz-Christoffel

• Schwarz, H. A. (1871), Bestimmung einer speziellen Minimalfläche, Dümmler.
• Schwarz, H. A. (1972) [1890], Gesammelte mathematische Abhandlungen. Band I, II, Bronx, N.Y.: AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8284-0260-6, MR 0392470.

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