Identidad de Roy

La identidad de Roy reformula el lema de Shephard para obtener una función de demanda marshalliana para un individuo y un bien (${\displaystyle i}$) de alguna función de utilidad indirecta.

El primer paso es considerar la identidad obtenida al sustituir la función de gasto por riqueza o ingreso ${\displaystyle w}$ en la función de utilidad indirecta ${\displaystyle v(p,w)}$, a una utilidad de ${\displaystyle u}$ː

${\displaystyle v(p,e(p,u))=u}$

Esto dice que la función de utilidad indirecta evaluada de tal manera que minimiza el costo de lograr una determinada utilidad dado un conjunto de precios (un vector ${\displaystyle p}$) es igual a esa utilidad cuando se evalúa a esos precios.

Tomando la derivada de ambos lados de esta ecuación con respecto al precio del bien ${\displaystyle p_{i}}$(manteniendo el nivel de utilidad constante) tiene como resultadoː

${\displaystyle {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}{\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}=0}$

Reorganizandoː

${\displaystyle -{\frac {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}}={\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}=h_{i}(p,u)=x_{i}(p,e(p,u))}$

con la penúltima igualdad siguiendo el lema de Shephard y la última igualdad de una propiedad básica de la demanda hicksiana (compensada).

Para facilitar la explicación, considere un caso de dos bienes. La función de utilidad indirecta ${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)}$ es la función de valor del problema de optimización restringida caracterizado por el siguiente lagrangiano:[3]

${\displaystyle {\mathcal {L}}=u(x_{1},x_{2})+\lambda (w-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})}$

Por el teorema de la envolvente, las derivadas de la función ${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)}$ con respecto a los parámetros son:

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}=-\lambda x_{1}^{m}}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial w}}=\lambda }$

Donde ${\displaystyle x_{1}^{m}}$ es el maximizador (es decir, la función de demanda marshalliana para el bien 1). Por tanto:̟

${\displaystyle -{\frac {\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}{\frac {\partial v}{\partial w}}}=-{\frac {-\lambda x_{1}^{m}}{\lambda }}=x_{1}^{m}}$

La identidad proporciona un método para derivar la función de demanda marshalliana de un bien para un consumidor a partir de la función de utilidad indirecta. Es fundamental para derivar la ecuación de Slutski.