Lema de Shephard

En la teoría del consumidor, el lema de Shephard afirma que la demanda de un bien ${\displaystyle i}$ particular para un determinado nivel de utilidad ${\displaystyle u}$, y dados los precios ${\displaystyle p}$, es igual a la derivada de la función de gasto con respecto al precio del bien correspondiente:

${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)={\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{i}}}}$

donde ${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)}$ es la demanda hicksiana para el bien ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle e(\mathbf {p} ,u)}$ es la función de gasto, y ambas funciones son en términos de precios (un vector ${\displaystyle p}$) y utilidad ${\displaystyle u}$.

Asimismo, en la teoría de la empresa, el lema da una formulación similar para la demanda de factores condicional para cada factor de entrada: la derivada de la función de coste ${\displaystyle c(\mathbf {w} ,y)}$ con respecto al precio de los factores:

${\displaystyle x_{i}(\mathbf {w} ,y)={\frac {\partial c(\mathbf {w} ,y)}{\partial w_{i}}}}$

donde ${\displaystyle x_{i}(\mathbf {w} ,y)}$ es el factor de demanda condicional para la entrada ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle c(\mathbf {w} ,y)}$ es la función de costo, y ambas funciones son, en términos de precios de los factores (un vector ${\displaystyle w}$) y producción ${\displaystyle y}$.

Aunque la demostración original de Shephard utilizó la fórmula de la distancia, las pruebas modernas del lema utilizan el teorema de la envolvente.[3]

La prueba se establece para el caso de dos bienes para facilitar la notación. La función de gasto ${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)}$ es el mínimo del problema de optimización restringido caracterizado por el siguiente lagrangiano:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\lambda (u-U(x_{1},x_{2}))}$

Por el teorema de la envolvente los derivados del minimando ${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)}$ con respecto al parámetro ${\displaystyle p_{1}}$ puede ser computado de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {\partial e}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial p_{1}}}=x_{1}^{h}}$

dónde ${\displaystyle x_{1}^{h}}$ es el minimizador (es decir, la función de demanda hicksiana para bien 1). Esto completa la prueba.

El lema de Shephard proporciona una relación entre las funciones de gasto (o costo) y la demanda de Hicks. El lema se puede volver a expresar como la identidad de Roy, que da una relación entre una función de utilidad indirecta y una función de demanda marshalliana.

• Lema de Hotelling