Integración de Lebesgue–Stieltjes

La integral de Lebesgue–Stieltjes: ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$ es definida cuando ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ es Borel-medible y finita y ${\displaystyle g:[a,b]\to \mathbb {R} }$ es de variación finita en ${\displaystyle [a,b]}$ y continua por la derecha, o cuando ${\displaystyle f}$ es no negativa y ${\displaystyle g}$ es monótona y continua por la derecha. Para empezar, se asume que ${\displaystyle f}$ es no negativa y que ${\displaystyle g}$ es monótona no decreciente y continua por la derecha. Se define ${\displaystyle w[(s,t]):=g(t)-g(s)}$ y ${\displaystyle w(\{a\}):=0}$ (alternativamente, la construcción funciona para ${\displaystyle g}$ continua por la izquierda, ${\displaystyle w([s,t)):=w(t)-w(s)}$ y ${\displaystyle w(\{b\}):=0}$).

Por el Teorema de Carathéodory, existe una única medida de Borel ${\displaystyle \mu _{g}}$ en ${\displaystyle [a,b]}$ que concuerde con ${\displaystyle w}$ en cada intervalo ${\displaystyle I}$. La medida ${\displaystyle \mu _{g}}$ surge de una medida exterior (de hecho, una medida exterior métrica) dada por

${\displaystyle \mu _{g}(E)=\inf \left\{\sum _{i}\mu _{g}(I_{i})\right\vert \left.E\subset \bigcup _{i}I_{i}\right\}}$

el ínfimo entre todas las coberturas de E por los distintos intervalos semiabiertos. Esta medida es llamada comúnmente como[1] la medida Lebesgue–Stieltjes asociada a g.

La integral de Lebesgue–Stieltjes

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

puede ser definida como la integral de Lebesgue de ƒ con respecto a la medida μ_g en la manera usual. Si g es no decreciente, entonces se define

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x):=-\int _{a}^{b}f(x)\,d(-g)(x),}$

siendo la última integral definida por la construcción precedente.

Si g es de variación finita y ƒ es finita, entonces es posible plantear

${\displaystyle dg(x)=dg_{1}(x)-dg_{2}(x)}$

donde g₁(x) := Vx
ag es la variación total deg en el intervalo [a,x], y g₂(x) = g₁(x) − g(x). Tanto g₁ como g₂ son monótonas no decrecientes. Ahora la integral de Lebesgue–Stieltjes con respecto a g es definida por

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x),}$

donde las dos últimas integrales están bien definidas dada la construcción precedente.

Suponga que ${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}} es una curva corregible en el plano y ${\displaystyle \rho$ :\mathbb {R} ^{2}\to [0,\infty )} es Borel-medible. Entonces se puede definir la longitud de ${\displaystyle \gamma }$ con respecto a la métrica euclidiana medida por ${\displaystyle \rho }$ como ${\displaystyle \int _{a}^{b}\rho (\gamma (t))\,d\ell (t)}$, donde ${\displaystyle \ell (t)}$ es la longitud de la restricción de ${\displaystyle \gamma }$ para ${\displaystyle [a,t]}$. Esta es comúnmente llamada la ${\displaystyle \rho }$-medida de ${\displaystyle \gamma }$. Esta noción es bastante útil para varias aplicaciones: por ejemplo, en terrenos lodosos la velocidad en que una persona se puede mover depende de la profundidad del lodo. Si ${\displaystyle \rho (z)}$ denota la inversa de la velocidad en o cerca de ${\displaystyle z}$, entonces la ${\displaystyle \rho }$-longitud de ${\displaystyle \gamma }$ es el tiempo que tomaría cruzar ${\displaystyle \gamma }$. El concepto de longitud extrema usa esta noción de ${\displaystyle \rho }$-longitud de curvas y es útil en el análisis de transformaciones conformes.

Una función ${\displaystyle f}$ se considera "regular" en un punto ${\displaystyle a}$ si existen los límites derecho ${\displaystyle f(a+)}$ e izquierdo ${\displaystyle f(a-)}$, y la función toma el valor promedio, :${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2}}\left(f(a-)+f(a+)\right),}$ en el punto límite. Dada las funciones ${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$ de variación finita, si en cada punto ${\displaystyle U}$ o ${\displaystyle V}$ es continua, si ambas ${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$ son regulares, entonces existe una fórmula de integración por partes para la integral de Lebesgue–Stieltjes:

${\displaystyle \int _{a}^{b}U\,dV+\int _{a}^{b}V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),}$ donde ${\displaystyle b>a}$. Bajo una pequeña generalización de esta fórmula, las condiciones extras en ${\displaystyle U}$ t ${\displaystyle V}$ pueden ser eliminadas.[2]

Un resultado alternativo, de significativa importancia en la teoría del cálculo estocástico es el siguiente: dadas dos funciones

${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$ de variación finita, donde ambas son continuas por la derecha y tienen límite izquierdo (son funciones 'cadlag') entonces

${\displaystyle U(t)V(t)=U(0)V(0)+\int _{(0,t]}U(s-)\,dV(s)+\int _{(0,t]}V(s-)\,dU(s)+\sum _{u\in (0,t]}\Delta U_{u}\Delta V_{u},}$

donde${\displaystyle \Delta U_{t}=U(t)-U(t-)}$. Este resultado puede ser visto como un precursor del Lema de Itō, y es de uso en la teoría general de integración estocástica. El término final es ${\displaystyle \Delta U(t)\Delta V(t)=d[U,V]}$, que surge de una covarianza cuadrada de ${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$. (El resultado anterior puede ser visto entonces como un resultado relativo a la integral de Stratonovich.)