Interpolación bilineal

Supóngase que se quiere encontrar el valor para la función f desconocida en el punto P = (x, y). Conocemos el valor de f en los cuatro puntos Q₁₁ = (x₁, y₁), Q₁₂ = (x₁, y₂), Q₂₁ = (x₂, y₁) y Q₂₂ = (x₂, y₂).

Primero se hace una interpolación lineal en la dirección x. Esto genera:

${\displaystyle f(R_{1})\approx {\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{11})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{21})}$

donde ${\displaystyle R_{1}=(x,y_{1})}$,

${\displaystyle f(R_{2})\approx {\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{12})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{22})}$

donde ${\displaystyle R_{2}=(x,y_{2}).}$

Después se hace una interpolación en la dirección y:

${\displaystyle f(P)\approx {\frac {y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}}f(R_{1})+{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}f(R_{2}).}$

Esto proporciona una estimación de f(x, y).

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)\approx &\,{\frac {f(Q_{11})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}(x_{2}-x)(y_{2}-y)\,+\\&\,{\frac {f(Q_{21})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}(x-x_{1})(y_{2}-y)\,+\\&\,{\frac {f(Q_{12})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}(x_{2}-x)(y-y_{1})\,+\\&\,{\frac {f(Q_{22})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}(x-x_{1})(y-y_{1})\\=&\,{\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\Big (}f(Q_{11})(x_{2}-x)(y_{2}-y)\,+\\&\,\qquad \qquad \qquad \qquad \;\;f(Q_{21})(x-x_{1})(y_{2}-y)\,+\\&\,\qquad \qquad \qquad \qquad \;\;f(Q_{12})(x_{2}-x)(y-y_{1})\,+\\&\,\qquad \qquad \qquad \qquad \;\;f(Q_{22})(x-x_{1})(y-y_{1})\quad {\Big )}.\end{aligned}}}$

Hay que tener en cuenta que se obtienen los mismos resultados si la interpolación se hace primero en la dirección y y después en la dirección x.

No-linealidad

Contrariamente a lo que el nombre pudiera sugerir, la interpolación bilineal no es lineal, ya que de hecho es el producto de dos funciones lineales (y, por tanto, no lineal):

${\displaystyle (a_{1}x+a_{2})(a_{3}y+a_{4}),\,}$

Alternativamente, la interpolación puede escribirse como:

${\displaystyle b_{1}+b_{2}x+b_{3}y+b_{4}xy\,}$

donde

${\displaystyle b_{1}=f(0,0)\,}$

${\displaystyle b_{2}=f(1,0)-f(0,0)\,}$

${\displaystyle b_{3}=f(0,1)-f(0,0)\,}$

${\displaystyle b_{4}=f(0,0)-f(1,0)-f(0,1)+f(1,1).\,}$

En esta visualización geométrica, el valor del punto negro es la suma del valor en cada punto coloreado multiplicado por el área del rectángulo del mismo color, dividida por el área total de los cuatro rectángulos.

En ambos casos, el número de constantes (cuatro) se corresponde con el número de datos en los que se conoce f. La interpolación lineal a lo largo de líneas paralelas al eje ${\displaystyle x}$ o al eje ${\displaystyle y}$, equivalentmente si ${\displaystyle x}$ o ${\displaystyle y}$ se toma como constante. A lo largo de cualquier otra línea recta, la interpolación resulta una función cuadrática.

Debe notarse, sin embargo, que aunque la interpolación no es lineal en la posición (x e y), es lineal en amplitud, como puede verse a partir de las ecuaciones anteriores: todos los coeficientes bj, j=1..4 son proporcionales al valor de la función f(,).

El resultado de una interpolación bilineal es independiente del orden (aquí orden significa qué eje se interpola primero y cual el segundo. Si se realizara primero una interpolación lineal en sobre el eje y y luego sobre el eje x, la aproximación resultante es la misma.

Existe una extensión obvia de la interpolación lineal a tres dimensiones denominada interpolación trilineal.

En la visión artificial y en el procesamiento digital de imágenes, la interpolación bilineal es una técnica básica de remuestreo.

• Interpolación
• Interpolación lineal
• Interpolación polinómica
• Función lineal

• Calculadora de la ecuación de interpolación bilineal.