Límite directo

En esta sección los objetos pueden ser entendidos como conjuntos con una estructura algebraica dada como pueden ser grupos, anillos, módulos (sobre algún anillo fijado), álgebras (sobre un cuerpo fijado), etc. Con esto en mente, los homomorfismos son entendidos en el correspondiente marco (homomorfismos de grupos, etc.).

Se comienza con la definición de un sistema directo de objetos y homomorfismos. Sea ${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$ un conjunto direccionado. Sea ${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$ una familia de objetos indexados por ${\displaystyle I\,}$ y ${\displaystyle f_{ij}:A_{i}\rightarrow A_{j}}$ es un homomorfismo para todo ${\displaystyle i\leq j}$ con las siguientes propiedades:

1. ${\displaystyle f_{ii}\,}$ es la identidad de ${\displaystyle A_{i}\,}$, y
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}}$ para todo ${\displaystyle i\leq j\leq k}$.

Entonces el par ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$ se llama sistema directo sobre ${\displaystyle I\,}$.

El conjunto subyacente del límite directo, ${\displaystyle A\,}$, del sistema directo ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$ se define como la unión disjunta de ${\displaystyle A_{i}\,}$'s módulo una cierta relación de equivalencia ${\displaystyle \sim \,}$:

${\displaystyle \varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .}$

Aquí, si ${\displaystyle x_{i}\in A_{i}}$ y ${\displaystyle x_{j}\in A_{j}}$, ${\displaystyle x_{i}\sim \,x_{j}}$ si hay algún ${\displaystyle k\in I}$ tal que ${\displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})\,}$. Heurísticamente, dos elementos de un conjunto disjunto son equivalentes si y solo si "eventualmente se vuelven iguales" en el sistema directo. Una formulación equivalente que destaca la dualidad con el límite inverso es que un elemento es equivalente a todas sus imágenes bajo los morfismos de un sistema direccionado , i.e. ${\displaystyle x_{i}\sim \,f_{ik}(x_{i})}$.

Se obtiene naturalmente de esto la definición morfismos canónicos ${\displaystyle \phi _{i}:A_{i}\rightarrow A}$ enviando a cada elemento a su clase de equivalencia. Las operaciones algebraicas sobre ${\displaystyle A\,}$ son definidas a esos morfismos de manera obvia.

Una propiedad importante es que tomar límites directos en la categoría de módulos es un funtor exacto.

El límite directo puede ser definido en una categoría arbitraria ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ por medio de una propiedad universal. Sea ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ un sistema directo de objetos y morfismos en ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ (la misma definición que anteriormente). El límite directo de este sistema es un objeto ${\displaystyle X\,}$ en ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ junto con morfismos ${\displaystyle \phi _{i}:X_{i}\rightarrow X}$ que satisfacen ${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}$. El par ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ debe ser universal en el sentido que para cualquier otro par de ${\displaystyle \langle Y,\psi _{i}\rangle }$ existe un único morfismo ${\displaystyle u:X\rightarrow Y}$ que realiza que el diagrama

conmute para todo i, j. El límite directo es a menudo denotado como

${\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}$

con el sistema directo, ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$, se entiende.

A diferencia de los objetos algebraicos, el límite directo no puede existir en una categoría algebraica. Sin embargo, si lo hace, es único en un sentido fuerte: dado otro límite directo X′ existe un único isomorfismo X′ → X conmutando con los morfismos canónicos.

Nótese que un sistema directo en una categoría ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ admite una descripción alternativa en términos de funtores. cualquier conjunto parcialmente ordenado direccionado ${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$ puede ser considerado como una categoría pequeña ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ donde los morfismos consisten en flechas ${\displaystyle i\rightarrow j}$ si y solo si ${\displaystyle i\leq j}$. Un sistema directo entonces es justamente un funtor covariante ${\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$.

Sean ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ y ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ categorías. Sea ${\displaystyle c_{X}:{\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ un funtor constante para algún objeto fijado ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$. Se define para cada funtor ${\displaystyle F:{\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ el funtor

${\displaystyle \lim _{\longrightarrow }F:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbf {Set} }$

el cual asigna a cada ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$ el conjunto ${\displaystyle \mathrm {Hom} (F,c_{X})}$ de transformaciones naturales de F a ${\displaystyle c_{X}}$. Si ${\displaystyle \lim _{\longrightarrow }F}$ es representable, el objeto que se representa en ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ es llamado límite directo de F y también se denota como ${\displaystyle \lim _{\longrightarrow }F}$.

Si ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ es una categoría abeliana, entonces sumas directas arbitrarias (y también infinitas) de objetos existen (este es el axioma de Grothediecks AB3). Luego ${\displaystyle \lim _{\longrightarrow }F}$ es representable para cada funtor ${\displaystyle F:{\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ y

${\displaystyle \lim _{\longrightarrow }:\mathrm {Hom} ({\mathcal {I}},{\mathcal {C}})\rightarrow {\mathcal {C}},F\mapsto \lim _{\longrightarrow }F}$

es un funtor aditivo exacto derecho de categorías abelianas.