Lema de la serpiente

En una categoría abeliana (como la categoría de los grupos abelianos o la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado), se considera un diagrama conmutativo:

donde las filas son secuencias exactas y 0 es el objeto cero.

Entonces hay una secuencia exacta relacionando los núcleos y conúcleos de a, b, y c:

${\displaystyle \ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker c~{\overset {d}{\longrightarrow }}~\operatorname {coker} a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c}$

donde d es un homomorfismo, conocido como el homomorfismo conector.

Además, si el morfismo f es un monomorfismo, entonces también lo es el morfismo, ker a → ker b; y si g' es un epimorfismo, entonces también lo es coker b → coker c.

Para ver de dónde toma su nombre el lema de la serpiente, basta expandir el diagrama anterior como sigue:

Y entonces darse cuenta de que la secuencia exacta que surge como conclusión del lema puede ser dibujada en este esquema expandido en la forma de "S" invertida de una serpiente.

• La demostración del lema de la serpiente es enseñada por el personaje de Jill Clayburgh al principio de la película de 1980 Ahora me toca a mí.

• Serge Lang: Álgebra. 3.ª edición, Salmer 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, pp. 157@–159 (online copy, p. 157, en Google Libros, p. 157, en Libros de Google)
• M. F. Atiyah; Yo. G. Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Oxford 1969, Addison–Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 0-201-00361-9.
• P. Hilton; U. Stammbach: A course in homological algebra. 2. Auflage, Springer Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6, p. 99 (online copy, p. 99, at Google Books)

• Lema de serpiente en PlanetMath
• Demostración del lema de la serpiente en la película Ahora me toca a mí