Teorema del coseno

Fig. 4a - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es agudo.

Un cierto número de las demostraciones del teorema hacen intervenir un cálculo de áreas. Conviene en efecto remarcar que

• a², b², c² son las áreas de los cuadrados de lados respectivos a, b, c.
• ab cos(γ) es el área de un paralelogramo de lados a y b que forman un ángulo de 90°-γ (para una prueba, ver el apéndice).

Dado que cos(γ) cambia de signo dependiendo de si γ es mayor o menor a 90°, se hace necesario dividir la prueba en dos casos.

La figura 4a (contigua) divide un heptágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo agudo. La división es la siguiente:

• En verde, las áreas a², b² la izquierda, y el área, c² a la derecha.
• En rojo, el triángulo ABC en ambos diagramas y en amarillo triángulos congruentes al ABC.
• En azul, paralelogramos de lados a y b con ángulo 90°-γ.

Igualando las áreas y cancelando las figuras iguales se obtiene que ${\textstyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab\,\cos \gamma }$, equivalente al Teorema del coseno.

Fig. 4b - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es obtuso.

La figura 4b (contigua) desglosa un hexágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo obtuso. La figura muestra

• En verde a², b² la izquierda y c² a la derecha.
• En azul -2ab cos(γ), recordando que al ser cos(γ) negativo, la expresión completa es positiva.
• En rojo, dos veces el triángulo ABC para ambos lados de la figura.

Igualando áreas y cancelando las zonas rojas da ${\displaystyle \,a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma =c^{2}}$, como queríamos demostrar.

Notemos que el teorema de cosenos es equivalente al teorema de Pitágoras cuando el ángulo ${\displaystyle \gamma }$ es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso.

Caso 1: c es adyacente a dos ángulos agudos

Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.

Consideremos la figura adjunta. Por el teorema de Pitágoras, la longitud c es calculada así:

(left)${\displaystyle c^{2}=h^{2}+u^{2}\,}$

Pero, la longitud h también se calcula así:

(left)${\displaystyle h^{2}=a^{2}-(b-u)^{2}\,}$

Sumando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}+2bu\,}$

Por la definición de coseno, se tiene:

${\displaystyle \cos \gamma \,={\frac {b-u}{a}}}$

y por lo tanto:

${\displaystyle u=b-a\,\cos \gamma \,}$

Sustituimos el valor de u en la ecuación para c², concluyendo que:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma }$

con lo que concluye la prueba del primer caso.

Caso 2: c es adyacente a un ángulo obtuso

Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso.

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevamente ${\displaystyle c^{2}=h^{2}+u^{2}}$ pero en este caso ${\displaystyle h^{2}=a^{2}-(b+u)^{2}}$. Combinando ambas ecuaciones obtenemos ${\displaystyle c^{2}=u^{2}+a^{2}-b^{2}-2bu-u^{2}}$ y de este modo:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}-2bu\,}$.

De la definición de coseno, se tiene ${\displaystyle cos\gamma \,={\frac {b+u}{a}}}$ y por tanto:

${\displaystyle u=a\,\cos \gamma -b\,}$.

Sustituimos en la expresión para ${\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}-2b(a\cos \gamma \ -b)}$, concluyendo nuevamente

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma \,}$.

Esto concluye la demostración. c² = a² - b² - 2b(a cos(γ) - b) Es importante notar, que si se considera a u como un segmento dirigido, entonces sólo hay un caso y las dos demostraciones se convierten en la misma.

Fig. 6 - Demostración del teorema del coseno utilizando la potencia de un punto con respecto a un círculo.

Consideremos un círculo con centro en B y radio BC, como en la figura 6. Si AC es tangente al círculo, nuevamente se tiene el Teorema de Pitágoras. Cuando AC no es tangente, existe otro punto K de corte con el círculo. La potencia del punto A con respecto a dicho círculo es

${\displaystyle AP\cdot AL=AC\cdot AK=AC(AC+CK)}$.

Por otro lado, AL = c+a y AP = c-a de modo que

${\displaystyle AP\cdot AL=(c+a)(c-a)=c^{2}-a^{2}}$.

Además, CK= -2a cos(γ) (ver el apéndice) por lo que

${\displaystyle AC(AC+CK)=b(b-2a\,cos(\gamma ))}$.

Igualando las expresiones obtenidas se llega finalmente a:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\;b\,\cos(\gamma )}$

Contrariamente a las precedentes, para esta demostración, no es necesario recurrir a un estudio por caso pues las relaciones algebraicas son las mismas para el caso del ángulo agudo.

Considere la figura de la derecha en el plano complejo.

Demostración del teorema del coseno utilizando la números complejos

Demostraremos que ${\displaystyle |c|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-2|a|\cdot |b|\cos \gamma }$

Por la gráfica sucede ${\displaystyle c=b-a}$, sacando módulo al cuadrado:

${\displaystyle |c|^{2}=|b-a|^{2}}$

Por propiedad de complejos con conjugados (${\displaystyle |u|^{2}=u{\overline {u}}}$):

${\displaystyle |c|^{2}=(b-a){\overline {(b-a)}}}$

${\displaystyle |c|^{2}=(b-a)({\overline {b}}-{\overline {a}})}$

Note que ${\displaystyle {\overline {a}}=a}$ porque ${\displaystyle a}$ es real (vea la gráfica). Entonces:

${\displaystyle |c|^{2}=(b-a)({\overline {b}}-a)}$

${\displaystyle |c|^{2}=b{\overline {b}}-a{\overline {b}}-ab+a^{2}}$

${\displaystyle |c|^{2}=b{\overline {b}}-a({\overline {b}}+b)+a^{2}}$

${\displaystyle |c|^{2}=\underbrace {b{\overline {b}}} _{|b|^{2}}-a\underbrace {({\overline {b}}+b)} _{2\Re (b)}+\underbrace {a^{2}} _{|a|^{2}}}$

${\displaystyle |c|^{2}=|b|^{2}-a\cdot 2\Re (b)+|a|^{2}}$

Note que ${\displaystyle \Re (b)=|b|\cos \gamma }$ (vea la gráfica). Luego:

${\displaystyle |c|^{2}=|b|^{2}-a\cdot 2|b|\cos \gamma +|a|^{2}}$

Para finalizar, note que ${\displaystyle |a|=a}$ (porque ${\displaystyle a}$ es real positivo):

${\displaystyle |c|^{2}=|b|^{2}-|a|\cdot 2|b|\cos \gamma +|a|^{2}}$

${\displaystyle |c|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-2|a|\cdot |b|\cos \gamma }$ ${\displaystyle \square }$

Utilizando el cálculo vectorial, más precisamente el producto escalar, es posible encontrar el teorema del coseno en algunas líneas:

${\displaystyle c^{2}\,}$	${\displaystyle =\lVert {\overrightarrow {\mathrm {AB} }}\lVert ^{2}}$
	${\displaystyle =\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}-{\overrightarrow {\mathrm {CA} }}\lVert ^{2}}$
	${\displaystyle =\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}\lVert ^{2}-2\cdot {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {CA} }}+\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CA} }}\lVert ^{2}}$
	${\displaystyle =\mathrm {CB} ^{2}-2\cdot \left|\mathrm {CB} \right|\cdot \left|\mathrm {CA} \right|\cos {\widehat {\mathrm {ACB} }}+\mathrm {CA} ^{2}}$
	${\displaystyle =a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}$

Cualquiera que sea el triángulo ABC se cumple que

${\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \gamma .}$

Si el ángulo γ es igual a 90°, la proposición se traduce al Teorema de Pitágoras, puesto que cos 90°=0. En el caso de que el ángulo sea agudo, según un teorema anterior se tiene que

${\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2\cdot BC\cdot CD.}$

En el triángulo ACD, se cumple que ${\displaystyle CD=AC\cos \gamma .}$. Por ello

${\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2\cdot BC\cdot AC\cdot \cos \gamma .}$

Sea esta vez γ un ángulo obtuso, se cumple que:

${\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}+2\cdot BC\cdot CD,}$

pero en el triángulo ADC,[11] se halla que ${\displaystyle CD=AC\cdot \cos({\widehat {ACD}}).}$. Sin embargo el ángulo ACD es el suplemento del ángulo γ del triángulo ABC. De esta manera se tiene que ${\displaystyle \cos({\widehat {ACD}})=-\cos \gamma }$, por consiguiente ${\displaystyle -AC\cos \gamma }$ y finalmente

${\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \gamma ,}$

quedando demostrado el teorema.[12]

Cuando el radio de curvatura es muy grande comparado con las dimensiones del triángulo, es decir cuando

${\displaystyle \,a<\!\!<1}$,

esta expresión se simplifica para dar la versión euclídea del teorema del coseno. Para hacerlo,

${\displaystyle \,\cos a=1-a^{2}/2+O(a^{3})}$, etc.

Existe una identidad similar que relaciona los tres ángulos:

${\displaystyle \cos \gamma =\cos \alpha \,\cos \beta +\operatorname {sen} \alpha \,\operatorname {sen} \beta \,\cos c}$

En un triángulo hiperbólico ABC, el teorema del coseno se escribe

${\displaystyle \cosh c=\cosh a\,\cosh b-\sinh a\,\sinh b\,\cos \gamma }$.

Cuando el radio de curvatura se vuelve muy grande frente las dimensiones del triángulo, encontramos el teorema del coseno euclídeo a partir de los desarrollos limitados

${\displaystyle \,\sinh a=a+O(a^{3})}$, etc.,

${\displaystyle \,\cosh a=1+a^{2}/2+O(a^{3})}$, etc.

Deducción del teorema sobre área de un paralelogramo

Se afirma:

Considérese un paralelogramo de lados a y b, formando un ángulo de θ, como en el diagrama. Dividiendo el paralelogramo por medio de una diagonal arroja dos zonas triangulares. En una de ellas, se construye una altura h como se muestra en la figura.

La zona triangular roja tiene por área ah/2. Por definición, sen(θ)=h/b,[14] de modo que h=b sen(θ). La sustitución en la fórmula del área triangular prueba que:[15]

Dado que el área del paralelogramo es el doble del triángulo,[16] se concluye que

La conclusión se sigue notando que si θ=90-γ entonces sen(θ)=sen(90°-γ) = cos(γ). Se hace notar también que la demostración es independiente de cual de las diagonales del paralelogramo se escoja, puesto que sen(θ)=sen(180°-θ).

Diagrama usado en la prueba basada en potencia de un punto

En la demostración del Teorema del coseno usando potencia de un punto, se afirma que el segmento CK en el diagrama mide precisamente -2a cos(γ).

La demostración más sencilla consiste en prolongar el segmento CB hasta cortar nuevamente la circunferencia en un punto D, de modo que CD es un diámetro del círculo, puesto que pasa por el centro del mismo.

Al ser un diámetro, el ángulo inscrito CKD es necesariamente recto por lo que el triángulo CKD es rectángulo. El ángulo DCK mide θ=180°-γ y por definición:

${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {CK}{CD}}={\frac {CK}{2a}}}$

y por tanto

${\displaystyle CK=2a\cos(\theta )=2a\cos(180^{\circ }-\gamma )=-2a\cos(\gamma )}$

ya que cos(180°-x) = -cos(x) para cualquier valor de x.