Ley potencial

El principal interés de las leyes potenciales radica en su invariancia de escala. La función ${\displaystyle f(x)=ax^{k}}$ (donde ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle k}$ son constantes), satisface la relación:

${\displaystyle f(cx)=a(cx)^{k}=c^{k}f(x)\propto f(x),\!}$

para toda constante ${\displaystyle c}$. Esto es, al multiplicar el argumento ${\displaystyle x}$ por ${\displaystyle c}$, únicamente estamos multiplicando la ley potencial original por la constante ${\displaystyle c^{k}}$. En este sentido, se dice que la función ${\displaystyle f(x)}$ es invariante de escala. Esta propiedad hace que una ley potencial quede determinada por su exponente, formando las funciones con el mismo exponente una clase de equivalencia. La invariancia de escala de la ley de potencias permite realizar estadísticas sobre las diferentes escalas de observación, para estimar el exponente.[1]

Las leyes potenciales solo tienen una media bien definida para exponentes menores que -2. De igual modo, solo tienen una varianza finita cuando el exponente es menor que -3.[2] Esto hace que sea técnicamente incorrecto aplicar las estadísticas tradicionales basadas en la varianza y desviación estándar (como el análisis de regresión), siendo más adecuadas otras herramientas como el análisis costo-eficiencia.[3] Por ejemplo, asumiendo que en una determinada región la emisión contaminante de automóviles se distribuye según una ley potencial (muy pocos automóviles contribuyen a la gran mayoría de la contaminación), sería suficiente eliminar una pequeña proporción de automóviles (los más contaminantes) para reducir sustancialmente la contaminación total.[4]

• La ley de Stefan-Boltzmann
• La ley de Gompertz de mortalidad
• La corrección gamma: relación entre los flujos de incidente y emitido.
• La ley de Kleiber que relaciona el metabolismo de un animal con su tamaño
• Los exponentes críticos involucrados en las transiciones de fase.
• La criticalidad autorganizada,[5] que explica la frecuencia de eventos o efectos de distinta magnitud en múltiples campos, por ejemplo la ley de Gutenberg-Richter para evaluar la magnitud de los terremotos.
• La curva de aprendizaje.
• En teoría de redes, las redes complejas libres de escala, donde la distribución de la conectividad está dada por una ley potencial.[6]
• El espectro diferencial de energía de los núcleos de rayos cósmicos.
• Progreso a través de un crecimiento exponencial y la difusión de innovaciones exponenciales[3]
• Distribución de Pareto.

• Distribución de probabilidad.
• Distribución Pareto.
• Distribución Weibull.
• Función del olvido según Wickelgren (1974):[7]

${\displaystyle R(t)=at^{-b}\,\!}$

• Ley de Zipf.

Estos casos parecen ajustar fenómenos tan dispares como la popularidad de una red en Internet, la riqueza de las personas (distribución de Pareto) y la frecuencia de las palabras en un texto.