Distribución de Weibull

Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Weibull} (\alpha ,\lambda )}$ entonces

• La tasa de fallos (hazard) es

${\displaystyle h(x;\alpha ,\lambda )={\lambda \alpha }\left({\lambda x}\right)^{\alpha -1}}$

• El ${\displaystyle n}$-ésimo momento de ${\displaystyle X}$ es

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]={\frac {1}{\lambda ^{n}}}\;\Gamma \left(1+{\frac {n}{\alpha }}\right)}$

• La función generadora de momentos de ${\displaystyle X}$ está dada por

${\displaystyle M_{X}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{\lambda ^{n}n!}}\;\Gamma \left(1+{\frac {n}{\alpha }}\right)}$

• La media de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ es

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}\;\Gamma \left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right)}$

• La varianza de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ es

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{\alpha }}\right)-\Gamma ^{2}\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right)\right]}$

• La moda de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ para ${\displaystyle \alpha >1}$ es

${\displaystyle x^{*}={\frac {1}{\lambda }}\left({\frac {\alpha -1}{\alpha }}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}$

• La asimetría y curtosis de ${\displaystyle X}$ están dadas por

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{\alpha }}\right){\frac {1}{\lambda ^{3}}}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}.}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{2}&={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}\\&={\frac {{\frac {1}{\lambda ^{4}}}\Gamma (1+{\frac {4}{\alpha }})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma \left(1+{\frac {i}{\alpha }}\right)}$.

• La distribución de Weibull desplazada (a través de un parámetro adicional) también se encuentra en la literatura.[2] Tiene función de densidad

${\displaystyle f(x;\alpha ,\lambda ,\theta )={\lambda \alpha }\left[{\lambda (x-\theta )}\right]^{\alpha -1}e^{-({\lambda (x-\theta )})^{\alpha }}\,}$

para ${\displaystyle x\geq \theta }$, donde ${\displaystyle \alpha >0}$ es el parámetro de forma, ${\displaystyle \lambda >0}$ es el parámetro de escala y ${\displaystyle \theta }$, el de localización. Coincide con la habitual cuando ${\displaystyle \theta =0}$.

• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Weibull} (1,\lambda )}$ entonces ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exponencial} (\lambda )}$.
• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Weibull} \left(2,{\frac {1}{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)}$ entonces ${\displaystyle X\sim \operatorname {Rayleigh} (\sigma )}$, es decir ${\displaystyle X}$ tiene una distribución de Rayleigh.

• La función de densidad de la distribución de Weibull cambia sustancialmente cuando ${\displaystyle \alpha }$ varía entre 0 y 3 y, en particular, cerca de x=0. Cuando ${\displaystyle \alpha <1}$ la densidad tiende a ${\displaystyle \infty }$ cuando ${\displaystyle x}$ se aproxima a ${\displaystyle 0}$ y la densidad tiene forma de J. Cuando ${\displaystyle \alpha =1}$ la densidad tiene un valor finito en x=0. Cuando ${\displaystyle 1<\alpha <2}$ la densidad se anula en ${\displaystyle 0}$, tiene una pendiente infinita en tal valor y es unimodal. Cuando ${\displaystyle \alpha =2}$ la densidad tiene pendiente finita en 0. Cuando ${\displaystyle \alpha >2}$ la densidad y su pendiente son nulas en cero y la densidad es unimodal. Conforme ${\displaystyle \alpha }$ crece, la distribución de Weibull converge a una delta de Dirac soportada en ${\displaystyle x=\lambda }$.

• La distribución de Weibull también puede caracterizarse a través de la distribución uniforme estándar, si ${\displaystyle U\sim \operatorname {U} (0,1)}$ entonces ${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}(-\ln(1-U))^{1/\alpha }\sim \operatorname {Weibull} (\alpha ,\lambda )}$. Este resultado permite simular numéricamente la distribución de manera sencilla.

• La distribución de Weibull es un caso especial de la distribución Exponentiated Weibull distribution (de tres parámetros) cuando el parámetro adicional vale 1. También es un caso especial de la generalized extreme value distribution. Fue precisamente en este contexto que fue identificada por Maurice Fréchet in 1927.

La distribución de Weibull se utiliza en:

• Análisis de la supervivencia
• En ingeniería, para modelar procesos estocásticos relacionados con el tiempo de fabricación y distribución de bienes

Aplicación de la distribución de probabilidad acumulada de Weibull a lluvias diárias máximas.[3]

• Teoría de valores extremos
• Meteorología
• Para modelar la distribución de la velocidad del viento (frecuencia con la que se dan diferentes velocidades de viento)
• En telecomunicaciones
• En sistemas de radar para simular la dispersión de la señal recibida
• En energía solar, para modelar la distribución de irradiación solar anual
• En seguros, para modelar el tamaño de las pérdidas

• En la hidrología, se utiliza la distribución de Weibull para analizar variables aleatorias como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos,[4] y además para describir épocas de sequía.[5]

El imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución de Weibull a lluvias máximas diarias ordenadas, mostrando también la franja de 90% de confianza, basada en la distribución binomial. Las observaciones presentan los marcadores de posición, como parte del análisis de frecuencia acumulada.

• Distribución exponencial de Weibull
• Módulo de Weibull
• Distribución exponencial
• Distribución gamma
• Distribución de Rayleigh

• Fréchet, Maurice (1927), «Sur la loi de probabilité de l'écart maximum», Annales de la Société Polonaise de Mathematique, Cracovie 6: 93-116..
• Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1994), Continuous univariate distributions. Vol. 1, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2nd edición), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58495-7, MR 1299979.
• Muraleedharan, G.; Rao, A.G.; Kurup, P.G.; Nair, N. Unnikrishnan; Sinha, Mourani (2007), «Coastal Engineering», Coastal Engineering 54 (8): 630-638, doi:10.1016/j.coastaleng.2007.05.001.
• Rosin, P.; Rammler, E. (1933), «The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal», Journal of the Institute of Fuel 7: 29-36..
• Sagias, Nikos C.; Karagiannidis, George K. (2005), «Gaussian class multivariate Weibull distributions: theory and applications in fading channels», Institute of Electrical and Electronics Engineers. Transactions on Information Theory 51 (10): 3608-3619, ISSN 0018-9448, doi:10.1109/TIT.2005.855598, MR 2237527.
• Weibull, W. (1951), «A statistical distribution function of wide applicability», J. Appl. Mech.-Trans. ASME 18 (3): 293-297..
• «Weibull Distribution». Engineering statistics handbook. National Institute of Standards and Technology. 2008.
• Nelson, Jr, Ralph (5 de febrero de 2008). «Dispersing Powders in Liquids, Part 1, Chap 6: Particle Volume Distribution». Archivado desde el original el 13 de febrero de 2008. Consultado el 5 de febrero de 2008.

• The Weibull distribution (con ejemplos, calculadora, etc.)
• The Weibull plot
• Papel para representar gráficamente la distribución de Weibull
• Mathpages - Análisis de Weibull
• La distribución de Weibull con Excel
• The SOCR Resource proporciona Interfaz interactivo para la distribución de Weibull.

Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la de Weibull, a una serie de datos:

• Easy fit Archivado el 23 de febrero de 2018 en Wayback Machine., "data analysis & simulation"
• MathWorks Benelux (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting Archivado el 30 de agosto de 2012 en Wayback Machine.
• CumFreq , libre sin costo, incluye intervalos de confianza a base de la distribución binomial
• Calcular la probabilidad de una distribución de Weibull con R (lenguaje de programación)
• Calculadora - Distribución de Weibull