Magma (álgebra)

Un Magma es una estructura algebraica de la forma con A es un conjunto donde se ha definido una operación binaria interna: .[1]

Siendo esta ley de composición una operación interna:

1.- Operación interna: para cualesquiera par ordenado de elementos del conjunto A×A operados con , el resultado pertenece al conjunto A. Es decir:

.

El término magma se debe a la asociación de matemáticos franceses que se hace llamar Nicolás Bourbaki.[1] Durante algún tiempo compitió, para reflejar el mismo concepto, con la palabra grupoide, que tiene otros sentidos en matemática (ver artículo grupoide), por lo que no es aconsejable su uso como sinónimo de magma.[2][3]

Definiciones

De magma a grupo.

Los tipos de magmas comúnmente estudiados incluyen:

El término "magma" fue introducido por Bourbaki. Anteriormente se usaba el término "grupoide", y todavía se utiliza a veces. En esta enciclopedia, no obstante, reservamos el término grupoide para un concepto algebraico diferente.

Existe lo que podemos llamar un magma libre sobre cualquier conjunto X y que puede ser descrito en términos familiares en ciencias de la computación como el magma de los árboles binarios con operación dada por la yuxtaposición (ordenada) de los árboles por la raíz. Tiene por tanto un rol fundacional en sintaxis.

Más Definiciones

Un magma se denomina:

  • medial si satisface la identidad xy.uz=xu.yz (i.e. (x*y)*(u*z)=(x*u)*(y*z)),
  • semimedial izquierdo si satisface la identidad xx.yz=xy.xz,
  • semimedial derecho si satisface la identidad yz.xx=yx.zx,
  • semimedial si es, a la vez, semimedial izquierdo y derecho,
  • distributivo izquierdo si satisface la identidad x.yz=xy.xz,
  • distributivo derecho si satisface la identidad yz.x=yx.zx,
  • autodistributivo si es, a la vez, distributivo izquierdo y derecho,
  • commutativo si satisface xy=yx,
  • idempotente si satisface xx=x,
  • unipotente si satisface xx=yy,
  • zeropotente si satisface xx.y=yy.x=xx,
  • alternativa si satisface xx.y=x.xy & x.yy=xy.y,
  • un semigrupo si satisface x.yz=xy.z (asociatividad),
  • un semigrupo con ceros izquierdos o elementos cancelativos izquierdos si satisface x=xy,
  • un semigrupo con ceros derechos o elementos cancelativos derechos si satisface x=yx,
  • un semigrupo con multiplicación nula si satisface xy=uv,
  • entrópico si es imagen homomórfica de un magma cancelativo.

No asociatividad

Una operación binaria * en un conjunto S que no satisfaga la ley asociativa se llama no-asociativa. Simbólicamente,

para tal operación el orden de la evaluación importa. La substracción y la división de números reales son ejemplos bien conocidos de operaciones no-asociativas:

En general, se deben utilizar paréntesis para indicar el orden de la evaluación si aparece una operación no-asociativa más de una vez en una expresión. Sin embargo, los matemáticos convienen en una orden particular de la evaluación para varias operaciones no-asociativas comunes. Esto tiene el estatus de una convención, no de una verdad matemática. Una operación izquierdo-asociable se evalúa convencionalmente de izquierda a derecha, es decir,

mientras que una operación derecho-asociable se evalúa convencionalmente de derecha a izquierda:

Las operaciones izquierdo-asociables y derecho-asociables ocurren; los ejemplos se dan abajo.

Más ejemplos

Las operaciones izquierdo-asociables incluyen las siguientes.

  • Substracción y división de números reales:

Las operaciones derecho-asociables incluyen la siguiente.

  • Exponenciación de números reales:

La razón por la que la exponenciación es derecho-asociable es que una operación izquierdo-asociable repetida del exponente sería menos útil. Múltiples apariciones se podrían reescribir con la multiplicación:

  • El operador de asignación en muchos lenguajes de programación es derecho-asociable.

Por ejemplo, en el lenguaje C

x = y = z;  significa  x = (y = z);  y no  (x = y) = z;

Es decir la declaración asignaría el valor de z a ambos x e y.

Las operaciones no-asociativas para las cuales no se define ningún orden convencional de la evaluación incluyen el siguiente.

  • Tomar el promedio de números reales:
  • Tomar el complemento relativo de conjuntos:

Véase también

Grupo
Monoide
Semigrupo
Magma
Conjunto
Ley de composición
Interna
Asociatividad
Elemento neutro
Elemento simétrico

Referencias

  1. Bourbaki, Nicolas (1998). Éléments de mathématique - Àlgebre Chapitres 1-3 [Algebra I: Chapters 1-3] (en inglés). Berlín: Springer-Velag. p. 1. ISBN 3540642439.
  2. R. I. Grigorčuk, ed. (2006). Topological and Asymptotic Aspects of Group Theory: AMS Special Sessions Probabilitistic and Asymptotic Aspects of Group Theory, March 26-27, 2004, Athens, Ohio, AMS Special Sessions and Topological Aspects of Group Theory, October 16-17, 2004, Nashville, Tennessee (en inglés). American Mathematical Soc. p. 115. ISBN 0821857266.
  3. Post-Modern Algebra-Chapter IV Universal Algebra pag. 284 (en inglés)

Enlaces externos

Este artículo ha sido escrito por Wikipedia. El texto está disponible bajo la licencia Creative Commons - Atribución - CompartirIgual. Pueden aplicarse cláusulas adicionales a los archivos multimedia.