Grupoide

Desde un punto de vista de categorías, un grupoide es simplemente una de ellas en la que todo morfismo es un isomorfismo (o sea, aquel es inversible).[1]

Alternativamente es posible dar la siguiente definición equivalente: un grupoide ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ consiste de

• Dos conjuntos ${\displaystyle G^{}}$, el grupoide y ${\displaystyle M}$, la base.
• ${\displaystyle s,t:G\to M}$ funciones sobreyectivas. ${\displaystyle s}$ es llamada proyección origen o fuente y ${\displaystyle t}$ es llamada la proyección final o destino.
• Una aplicación ${\displaystyle 1:M\to G}$, ${\displaystyle x\mapsto 1_{x}}$, la aplicación de inclusión o identidad.
• Si ${\displaystyle G*G:=\{(\eta ,\xi )\in G\times G:t(\xi )=s(\eta )\}}$, entonces hay una multiplicación parcial ${\displaystyle G*G\to G}$ que satisface las siguientes condiciones

• ${\displaystyle s(hg)=s(g)}$, ${\displaystyle t(hg)=t(h)}$, para todo ${\displaystyle (h,g)\in G*G}$.
• Asociatividad.
• ${\displaystyle s(1_{x})=t(1_{x})=x}$, para todo ${\displaystyle x\in M}$.
• ${\displaystyle g1_{s(g)}=1_{t(g)}g=g}$, para todo ${\displaystyle g\in G}$.
• Para todo ${\displaystyle g\in G}$, existe ${\displaystyle g^{-1}\in G}$, tal que ${\displaystyle g^{-1}g=1_{s(g)}}$ y ${\displaystyle gg^{-1}=1_{t(g)}}$.

• Los grupos son los grupoides con base trivial.

• Sea ${\displaystyle M}$ conjunto, ${\displaystyle G}$ grupo, ${\displaystyle s:M\times G\times M\to M}$ la proyección a la tercera coordenada, ${\displaystyle t:M\times G\times M\to M}$ la proyección a la primera coordenada, ${\displaystyle 1:M\to M\times G\times M}$ dada por ${\displaystyle x\mapsto (x,1,x)}$. La multiplicación parcial e inversa dadas por ${\displaystyle (z,h,y)(y,g,x)=(z,hg,x)}$, ${\displaystyle \,\,(y,g,x)^{-1}=(x,g^{-1},y)}$, respectivamente. Esto resulta ser un grupoide que se denota ${\displaystyle M\times G\times M\rightrightarrows M}$ y es llamado el grupoide trivial sobre ${\displaystyle M}$ con grupo ${\displaystyle G}$.

• En topología, el grupoide fundamental de un espacio topológico ${\displaystyle X\,}$ es el conjunto de clases de homotopía de curvas con la operación yuxtaponer clases (cuando es posible hacerlo). Se lo representa con la expresión ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$.

Las clases de homotopía son las clases de equivalencia determinadas por la relación de ser homotópicas, es decir, dos curvas ${\displaystyle \alpha ,\beta$ :[0,1]\to X\,} tal que ${\displaystyle \alpha (0)=\beta (0)\,}$ y ${\displaystyle \alpha (1)=\beta (1)\,}$; son homotópicas si existe una aplicación continua ${\displaystyle H:[0,1]\times [0,1]\to X\,}$ tal que

${\displaystyle H(k,0)=\alpha (k)\,}$, ${\displaystyle H(k,1)=\beta (k)\,}$

${\displaystyle H(0,r)=\alpha (0)=\beta (0)\,}$, ${\displaystyle H(1,r)=\alpha (1)=\beta (1)\,}$.

En este caso la base es el espacio ${\displaystyle X\,}$, las aplicaciones origen y final son el origen y el final de cada curva. La aplicación identidad es ${\displaystyle 1_{x}(r)=x}$, es decir la clase de equivalencia de la curva constante en ${\displaystyle x}$ y la inversa es recorrer la curva en sentido contrario.

Es claro que el grupoide fundamental incluye a todos los grupos fundamentales y los integra en una sola estructura, que a la postre resulta ser más natural para el estudio de la homotopía.

• Si ${\displaystyle X}$ es un conjunto y ${\displaystyle \simeq }$ es una relación de equivalencia en ${\displaystyle X}$, entonces podemos formar un grupoide que representa esta relación de equivalencia como sigue: la base es ${\displaystyle X}$, y para cualesquiera dos elementos ${\displaystyle x,\,y}$ en ${\displaystyle X}$, hay un único morfismo desde ${\displaystyle x}$ hasta ${\displaystyle y}$ si y sólo si ${\displaystyle x\simeq y}$.

Al estudiar objetos geométricos, los grupoides que se presentan llevan a menudo alguna estructura diferenciable, convirtiéndose en grupoides de Lie. Estos se pueden estudiar en términos de los algebroides de Lie, en analogía a la relación entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie.

• Heinrich Brandt

• Paterson, Alan L.T. (1999). Alan L.T. Paterson, ed. Groupoids, Inverse Semigroups, and Their Operator Algebras (en inglés). Berlín: Springer Velag. ISBN 0817640517.

• Alan Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry, Groupoids.ps o weinstein.pdf
• Parte VI de Geometric Models for Noncommutative Algebras, por A. Cannas da Silva y A. Weinstein archivo PDF.