Momento angular relativo específico

Lo siguiente solo es válido bajo las simplificaciones también aplicadas a la ley de la gravitación universal de Newton.

Uno mira dos masas de puntos ${\displaystyle m_{1}}$ y ${\displaystyle m_{2}}$, a la distancia ${\displaystyle r}$ entre sí y con la fuerza gravitacional ${\displaystyle {\vec {F}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}$ actuando entre ellos. Esta fuerza actúa instantáneamente, a cualquier distancia y es la única fuerza presente. El sistema de coordenadas es inercial.

La simplificación adicional ${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$ se asume a continuación. Por lo tanto, ${\displaystyle m_{1}}$ es el cuerpo central en el origen del sistema de coordenadas y ${\displaystyle m_{2}}$ es el satélite que orbita a su alrededor. Ahora la masa reducida también es igual a ${\displaystyle m_{2}}$y la ecuación del problema de dos cuerpos es

${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}$

con el parámetro gravitatorio estándar ${\displaystyle \mu =Gm_{1}}$ y el vector de distancia ${\displaystyle {\vec {r}}}$ que apunta desde el origen (cuerpo central) al satélite, debido a su masa despreciable.[Notes 1]

Es importante no confundir el parámetro gravitatorio ${\displaystyle \mu }$ con la masa reducida, que a veces también se denota con la misma letra ${\displaystyle \mu }$.

Vector de distancia ${\displaystyle {\vec {r}}}$, vector de velocidad ${\displaystyle {\vec {v}}}$, anomalía verdadera ${\displaystyle \theta }$ y ángulo de trayectoria de vuelo ${\displaystyle \phi }$de ${\displaystyle m_{2}}$en órbita alrededor de ${\displaystyle m_{1}}$. También se representan las medidas más importantes de la elipse (entre las cuales, tenga en cuenta que la anomalía verdadera ${\displaystyle \theta }$ está etiquetada como ${\displaystyle \nu }$).

Se obtiene el momento angular relativo específico multiplicando (producto cruzado) la ecuación del problema de dos cuerpos con el vector de distancia ${\displaystyle {\vec {r}}}$

${\displaystyle {\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}=-{\vec {r}}\times {\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}$

El producto cruzado de un vector consigo mismo (lado derecho) es 0. El lado izquierdo simplifica

${\displaystyle {\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}={\dot {\vec {r}}}\times {\dot {\vec {r}}}+{\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}={\frac {\mathrm {d} \left({\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}\right)}{\mathrm {d} t}}=0}$

de acuerdo con la regla de diferenciación del producto.

Esto significa que ${\displaystyle {\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}}$ es constante (cantidad conservada). Y este es exactamente el momento angular por masa del satélite[References 1]

${\displaystyle {\vec {h}}={\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}=const.}$

Este vector es perpendicular al plano de la órbita, la órbita permanece en este plano porque el momento angular es constante.

Se puede obtener una mayor comprensión del problema de los dos cuerpos con las definiciones del ángulo de trayectoria de vuelo ${\displaystyle \phi }$ y la componente transversal y radial del vector de velocidad (ver ilustración a la derecha). Las siguientes tres fórmulas son todas posibilidades equivalentes para calcular el valor absoluto del vector de momento angular relativo específico

• ${\displaystyle h=rv\cos \phi }$
• ${\displaystyle h=r^{2}{\dot {\theta }}}$
• ${\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}}$

Donde ${\displaystyle p}$ se llama semi-alojamiento lateral de la curva.

La prueba comienza de nuevo con la ecuación del problema de los dos cuerpos. Esta vez, uno lo multiplica (producto cruzado) con el momento angular relativo específico

${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}\times {\vec {h}}}$

El lado izquierdo es igual a la derivada ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \left({\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}\right)}{\mathrm {d} t}}}$ porque el momento angular es constante.

Después de algunos pasos, se convierte el lado derecho ${\displaystyle -{\frac {\mu }{r^{3}}}\left({\vec {r}}\times {\vec {h}}\right)=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\left({\vec {r}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {r}}-r^{2}{\vec {v}}\right)=-\left({\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}{\vec {r}}-{\frac {\mu }{r}}{\vec {v}}\right)=\mu {\frac {\mathrm {d} {\frac {\vec {r}}{r}}}{\mathrm {d} t}}}$

Establecer estas dos expresiones iguales e integradas en el tiempo conduce a (con la constante de integración ${\displaystyle {\vec {C}}}$)

${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}=\mu {\frac {\vec {r}}{r}}+{\vec {C}}}$

Ahora esta ecuación se multiplica (producto punto) con ${\displaystyle {\vec {r}}}$ reorganizado

${\displaystyle {\vec {r}}\left({\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}\right)={\vec {r}}\left(\mu {\frac {\vec {r}}{r}}+{\vec {C}}\right)}$

${\displaystyle {\vec {r}}\left({\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}\right)=\left({\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}\right){\vec {h}}=h^{2}\;,\qquad {\vec {r}}\left(\mu {\frac {\vec {r}}{r}}+{\vec {C}}\right)=\mu r+rC\cos \theta }$

Finalmente uno obtiene la ecuación de la órbita[References 2]

${\displaystyle r={\frac {\frac {h^{2}}{\mu }}{1+{\frac {C}{\mu }}\cos \theta }}}$

que es la ecuación de una sección cónica en coordenadas polares con semi-alojamiento lateral ${\displaystyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}}$ y excentricidad ${\displaystyle e={\frac {C}{\mu }}}$. Esto prueba la primera ley de Kepler, en palabras:

La órbita de un planeta es una elipse con el Sol en un foco.

—Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis,[References 3]

La segunda ley se deduce instantáneamente de la segunda de las tres ecuaciones para calcular el valor absoluto del momento angular relativo específico.

Si uno conecta esta forma de la ecuación ${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {r^{2}}{h}}\ \mathrm {d} \theta }$ con la relación ${\displaystyle \mathrm {d} A={\frac {r^{2}}{2}}\ \mathrm {d} \theta }$ para el área de un sector con un ángulo pequeño infinitesimal ${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$ (triángulo con un lado muy pequeño), la ecuación[References 4]

${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {2}{h}}\ \mathrm {d} A}$

sale, esa es la formulación matemática de las palabras:

La línea que une el planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

—Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis,[References 3]

La tercera de Kepler es una consecuencia directa de la segunda ley. La integración de más de una revolución da el período orbital

${\displaystyle T={\frac {2\pi ab}{h}}}$

para el área ${\displaystyle \pi ab}$ de una elipse. Reemplazando el eje semi-menor con ${\displaystyle b={\sqrt {ap}}}$ y el momento angular relativo específico con ${\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}}$ se obtiene[References 4]

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}$

Existe, pues, una relación entre el eje semieje mayor y el período orbital de un satélite que puede reducirse a una constante del cuerpo central. Esto es lo mismo que la famosa formulación de la ley:

El cuadrado del período de un planeta es proporcional al cubo de su distancia media al Sol.

— Johannes Kepler, Harmonices Mundi libri V,[References 3]