Producto escalar

Citamos a continuación algunos productos estudiados generalmente en la teoría de los espacio prehilbertianos. Todos estos productos —llamados canónicos— son solo algunos de los infinitos productos interiores que se pueden definir en sus respectivos espacios.

• En el espacio vectorial ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto punto) por:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})\cdot (b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...a_{n}b_{n}=\sum a_{i}\cdot b_{i}}$.

• En el espacio vectorial ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ se suele definir el producto interior por:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})\cdot (b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n})=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+...a_{n}\cdot {\overline {b_{n}}}=\sum a_{i}\cdot {\overline {b_{i}}}}$.

donde ${\displaystyle {\overline {b_{n}}}}$ es el número complejo conjugado de ${\displaystyle b_{n}}$.

• En el espacio vectorial de las matrices de m x n, con entradas reales

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\operatorname {tr} (A^{t}B)}$

donde tr(M) es la traza de la matriz M y ${\displaystyle A^{t}}$ es la matriz traspuesta de ${\displaystyle A}$.

• En el espacio vectorial de las matrices de m x n , con entradas complejas

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\operatorname {tr} (A^{*}\cdot B)}$

donde tr(M) es la traza de la matriz M y ${\displaystyle A^{*}}$ es la matriz traspuesta conjugada de A.

• En el espacio vectorial de las funciones complejas continuas en el intervalo acotado por a y b, denotado por ${\displaystyle {\mathcal {C}}[a,b]}$:

${\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {g} =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\mathrm {d} x}$.

• En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n, dados n+1 números ${\displaystyle \textstyle [x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n},x_{n+1}]\subseteq \mathbb {R} }$ tales que ${\displaystyle \textstyle x_{1}<x_{2}<x_{3}<...<x_{n}<x_{n+1}\,}$ :

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =p(x_{1})q(x_{1})+p(x_{2})q(x_{2})+...+p(x_{n})q(x_{n})+p(x_{n+1})q(x_{n+1})=\sum p(x_{i})\cdot q(x_{i})}$.

Sean los vectores ${\displaystyle \mathbf {U} =(U_{1},U_{2},U_{3})^{t}}$ y ${\displaystyle \mathbf {V} =(V_{1},V_{2},V_{3})^{t}}$ en el espacio euclideo tridimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. El producto escalar de ${\displaystyle \mathbf {U} }$ y ${\displaystyle \mathbf {V} }$ se define como el producto matricial:

${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =U^{t}V={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}&U_{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\\V_{3}\\\end{bmatrix}}=U_{1}V_{1}+U_{2}V_{2}+U_{3}V_{3}\,}$

Si se expresan los vectores mediante sus coordenadas respecto de cierta base ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}}$, por aplicación de las propiedades del producto escalar, éste toma la forma

${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {V} }$	${\displaystyle ~=}$	${\displaystyle (u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3})\cdot (v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3})}$
	${\displaystyle ~=}$	${\displaystyle {\begin{matrix}u_{1}v_{1}\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}+u_{2}v_{1}\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {e} _{1}+u_{3}v_{1}\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\\+u_{1}v_{2}\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}+u_{2}v_{2}\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}+u_{3}v_{2}\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {e} _{2}\\+u_{1}v_{3}\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{3}+u_{2}v_{3}\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {e} _{3}+u_{3}v_{3}\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{matrix}}}$

La expresión anterior puede condensarse en forma matricial como

${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {V} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{bmatrix}}=U_{\mathcal {B}}^{t}AV_{\mathcal {B}},}$

donde A es la matriz de Gram del producto, cuyas entradas son los productos escalares de los vectores de la base: ${\displaystyle a_{ij}=e_{i}\cdot e_{j}}$. En el caso particular de que la base sea ortonormal, la matriz de Gram es la matriz identidad.

Las expresiones anteriores se pueden generalizar a espacios de n dimensiones. Si U y V son vectores en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ entonces:

${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =U_{1}V_{1}+U_{2}V_{2}+...+U_{n}V_{n}\ .}$

Análogamente, dadas las coordenadas de los vectores respecto de una base ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{1},e_{2},...,e_{n}\}}$, el producto viene dado por

${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =U_{\mathcal {B}}^{t}\ A\ V_{\mathcal {B}},}$

donde la matriz de Gram A es de orden n x n.

El producto escalar de un vector consigo mismo equivale a la suma de los cuadrados de sus componentes:

${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {U} =U_{1}^{2}+U_{2}^{2}+...+U_{n}^{2}\ .}$

Al tratarse de una suma de cuadrados, todos los sumandos son no-negativos, y solo es cero cuando todas las componentes son cero, es decir, cuando U es el vector nulo. En otro caso es un número real positivo que, por aplicación sucesiva del teorema de Pitágoras, equivale al cuadrado de la distancia entre el origen de coordenadas y el punto extremo del vector U. En resumen:

${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {U} =\lVert U\rVert ^{2},}$

o dicho de otro modo, el módulo (o norma) del vector U es la raíz cuadrada del producto escalar de U consigo mismo.[14]

Un vector de módulo igual a la unidad se denomina vector unitario, y es usual denotarlo con un acento circunflejo, como ${\displaystyle {\hat {u}}}$. Siempre es posible obtener un vector unitario en la dirección de cualquier vector no nulo v, multiplicándolo por el inverso de su norma. A este proceso se le denomina normalización del vector v.[15]

Triángulo definido por dos vectores u y v.

Aplicando el teorema del coseno al triángulo definido por dos vectores u y v, se tiene que

${\displaystyle ||\mathbf {v} -\mathbf {u} ||^{2}=||\mathbf {u} ||^{2}+||\mathbf {v} ||^{2}-2\cdot ||\mathbf {u} ||\cdot ||\mathbf {v} ||\cdot \cos \theta \ ,}$

que se puede reescribir como

${\displaystyle 2\cdot ||\mathbf {u} ||\cdot ||\mathbf {v} ||\cdot \cos \theta =||\mathbf {u} ||^{2}+||\mathbf {v} ||^{2}-||\mathbf {v} -\mathbf {u} ||^{2}\ .}$

El cuadrado de la norma de cada uno de estos vectores es:

${\displaystyle ||\mathbf {u} ||^{2}=\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+...+u_{n}^{2}\ .}$

${\displaystyle ||\mathbf {v} ||^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+...+v_{n}^{2}\ .}$

${\displaystyle ||\mathbf {v} -\mathbf {u} ||^{2}=(\mathbf {v-u} )\cdot (\mathbf {v-u} )=(v_{1}-u_{1})^{2}+(v_{2}-u_{2})^{2}+...+(v_{n}-u_{n})^{2}\ .}$

Sustituyendo en la expresión anterior, y puesto que ${\displaystyle (v_{i}-u_{i})^{2}=v_{i}^{2}-2u_{i}v_{i}+u_{i}^{2}}$, tras cancelar todos los sumandos de la forma ${\displaystyle u_{i}^{2}}$ y ${\displaystyle v_{i}^{2}}$ solo queda

${\displaystyle 2\cdot ||\mathbf {u} ||\cdot ||\mathbf {v} ||\cdot \cos \theta =2u_{1}v_{1}+2u_{2}v_{2}+...+2u_{n}v_{n}=2\ \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \ ,}$

de donde, si la norma de ambos vectores es distinta de cero, se puede despejar[16]

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{||\mathbf {u} ||\cdot ||\mathbf {v} ||}}\ ={\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{{\sqrt {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }}{\sqrt {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }}}}\ .}$

El denominador de esta expresión es siempre positivo, con lo que el signo del producto escalar coincide con el del coseno del ángulo ${\displaystyle \theta }$. El producto escalar es positivo cuando este ángulo es menor que el ángulo recto, y es negativo cuando el ángulo es mayor.[17]

A • B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.

La expresión anterior para el coseno del ángulo entre los vectores se puede utilizar para dar una definición alternativa del producto escalar. Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida. Sin embargo, es equivalente a la definición analítica expuesta anteriormente, dada en función de los componentes de dichos vectores.

El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo, denotado usualmente como ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }$, se define geométricamente como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo ${\displaystyle \theta }$ que forman.

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\cos \theta =A\,B\,\cos \theta }$

Proyección

La proyección ortogonal de un vector u sobre (la dirección de) un vector v, distinto del vector nulo, se define como el vector paralelo a v que resulta de proyectar u sobre el subespacio generado por v. En otras palabras, es la sombra que proyecta un vector sobre el otro.

El módulo de la proyección del vector u sobre la dirección del vector v es ${\displaystyle ||P_{v}(u)||=||u||cos\theta }$, con lo cual

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =||P_{v}(u)||\cdot ||v||\ ,}$

esto es, el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

En consecuencia, la proyección se puede calcular como el producto punto entre ambos vectores, dividido entre la magnitud del vector v al cuadrado, multiplicado por el vector v:[18]

${\displaystyle P_{v}(u)={\frac {\langle {\bf {{u},{\bf {{v}\rangle }}}}}{||{\bf {{v}||}}}}\cdot {\frac {\bf {v}}{||{\bf {{v}||}}}}={\frac {\langle {\bf {{u},{\bf {{v}\rangle }}}}}{\langle {\bf {{v},{\bf {{v}\rangle }}}}}}{\bf {v}}}$.

Por ejemplo, en el caso del espacio euclideo en dos dimensiones, la proyección del vector u=(4, 5) sobre el vector v= (5, -2) es el vector

${\displaystyle P_{v}(u)={\frac {4\cdot 5+5\cdot (-2)}{5^{2}+(-2)^{2}}}(5,-2)=(50/29,-20/29).}$

En el caso particular de que se considere la dirección de un vector unitario e, la expresión para la proyección de un vector u sobre e toma la forma simplificada

${\displaystyle P_{e}(u)=\langle {\bf {{u},{\bf {{e}\rangle \ {\bf {e}}}}}}}$.

Las expresiones anteriores son utilizadas en el método de Gram-Schimdt para obtener una base ortonormal.

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =0\qquad \Leftrightarrow \qquad \mathbf {A} \mathrel {\bot } \mathbf {B} }$

ya que el ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=0}$.

Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 radianes (0 grados) o de π radianes (180 grados).

Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =AB\cos \theta \quad \vert \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \vert =\vert A\vert \vert B\vert \leftrightarrow \vert {\cos \theta }\vert =1\leftrightarrow A\parallel B}$

Dada una forma bilineal simétrica ${\displaystyle \scriptstyle B(\cdot ,\cdot )}$ definida sobre un espacio vectorial ${\displaystyle \scriptstyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ puede definirse un producto escalar diferente del producto escalar euclídeo mediante la fórmula:

${\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )_{B}={\begin{bmatrix}u_{1}&\dots &u_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}B_{11}&\dots &B_{1n}\\\dots &\dots &\dots \\B_{n1}&\dots &B_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\dots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}B_{ij}u_{i}v_{j}}$

Donde:

${\displaystyle B_{ij}:=B(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})}$

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$ es una base del espacio vectorial ${\displaystyle \scriptstyle V}$

Puede comprobarse que la operación anterior ${\displaystyle \scriptstyle (\cdot ,\cdot )_{B}:V\times V\to \mathbb {R} }$ satisface todas las propiedades que debe satisfacer un producto escalar.

Se pueden definir y manejar espacio no euclídeos o más exactamente variedades de Riemann, es decir, espacios no planos con un tensor de curvatura diferente de cero, en los que también podemos definir longitudes, ángulos y volúmenes. En estos espacios más generales se adopta el concepto de geodésica en lugar del de segmento para definir las distancias más cortas en entre puntos y, también, se modifica ligeramente la definición operativa del producto escalar habitual introduciendo un tensor métrico ${\displaystyle \scriptstyle g:{\mathcal {M}}\times T{\mathcal {M}}\times T{\mathcal {M}}\to \mathbb {R} }$, tal que la restricción del tensor a un punto de la variedad de Riemann es una forma bilineal ${\displaystyle \scriptstyle g_{x}(\cdot ,\cdot )=g(x;\cdot ,\cdot )}$.

Así, dados dos vectores campos vectoriales ${\displaystyle \mathbf {u} }$ y ${\displaystyle \mathbf {v} }$ del espacio tangente a la variedad de Riemann se define su producto interno o escalar como:

${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =g_{x}(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\sum _{i}\sum _{j}g_{ij}(x)u_{i}v_{j}}$

La longitud de una curva rectificable C entre dos puntos A y B se puede definir a partir de su vector tangente ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {T} }$ de la siguiente manera:

${\displaystyle L_{C}=\int _{s_{a}}^{s_{b}}{\sqrt {g(\mathbf {x} ,\mathbf {T} ,\mathbf {T} )}}\ ds=\int _{s_{a}}^{s_{b}}{\sqrt {g_{ij}{\frac {dx^{i}}{ds}}{\frac {dx^{i}}{ds}}}}\ ds}$

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