Al-Juarismi

En su tratado de álgebra Hisāb al-ŷabr wa'l muqābala (حساب الجبر و المقابلة, Compendio de cálculo por compleción y comparación), obra eminentemente didáctica, se pretende enseñar un álgebra aplicada a la resolución de problemas de la vida cotidiana del imperio islámico de entonces. La traducción de Rosen de las palabras de al-Juarismi describiendo los fines de su libro dan cuenta de que el sabio pretendía enseñar:

... aquello que es fácil y más útil en aritmética, tal que los hombres lo requieren constantemente en casos de herencia, legados, particiones, juicios, y comercio, y en todos sus tratos con los demás, o cuando se trata de la mensura de tierras, la excavación de canales, cálculos geométricos, y otros objetos de varias clases y tipos.

Traducido al latín por Gerardo de Cremona en Toledo, se utilizó en las universidades europeas como libro de texto hasta el siglo XVI, siendo este el primer tratado conocido en el que se hace un estudio exhaustivo sobre la resolución de ecuaciones.

Luego de presentar los números naturales, al-Juarismi aborda la cuestión principal en la primera parte del libro: la solución de ecuaciones. Sus ecuaciones son lineales o cuadráticas y están compuestas de unidades, raíces y cuadrados; para él, por ejemplo, una unidad era un número, una raíz era ${\displaystyle x}$ y un cuadrado ${\displaystyle x^{2}}$. Aunque en los ejemplos que siguen usaremos la notación algebraica corriente en nuestros días para ayudar al lector a entender las nociones, es de destacar que al-Juarizmi no empleaba símbolos de ninguna clase, sino solo palabras.

Primero reduce una ecuación a alguna de seis formas normales:

1. Cuadrados iguales a radicales.
2. Cuadrados iguales a números.
3. Raíces iguales a números.
4. Cuadrados y raíces iguales a números, por ejemplo ${\displaystyle x^{2}+10x=39}$
5. Cuadrados y números iguales a raíces, por ejemplo ${\displaystyle x^{2}+21=10x}$
6. Raíces y números iguales a cuadrados, por ejemplo ${\displaystyle 3x+4=x^{2}}$

La reducción se lleva a cabo utilizando las operaciones de al-ŷabr ("compleción", el proceso de eliminar términos negativos de la ecuación) y al-muqabala ("balanceo", el proceso de reducir los términos positivos de la misma potencia cuando suceden de ambos lados de la ecuación). Luego, al-Juarismi muestra cómo resolver los seis tipos de ecuaciones, usando métodos de solución algebraicos y geométricos. Por ejemplo, para resolver la ecuación ${\displaystyle x^{2}+10x=39}$, escribe:

... un cuadrado y diez raíces son iguales a 39 unidades. Entonces, la pregunta en este tipo de ecuación es aproximadamente así: cuál es el cuadrado que, combinado con diez de sus raíces, dará una suma total de 39. La manera de resolver este tipo de ecuación es tomar la mitad de las raíces mencionadas. Ahora, las raíces en el problema que tenemos ante nosotros son diez. Por lo tanto, tomamos 5 que multiplicadas por sí mismas dan 25, una cantidad que agregarás a 39 dando 64. Habiendo extraído la raíz cuadrada de esto, que es 8, sustraemos de allí la mitad de las raíces, 5, resultando 3. Por lo tanto el número tres representa una raíz de este cuadrado.

Álgebra[18]

Sigue la prueba geométrica por compleción del cuadrado, que no expondremos aquí. Señalaremos sin embargo que las pruebas geométricas que usa al-Juarismi son objeto de controversia entre los expertos. La cuestión, que permanece sin respuesta, es si estaba familiarizado con el trabajo de Euclides. Debe recordarse, en la juventud de al-Juarismi y durante el reinado de Harun al-Rashid, al-Hajjaj había traducido los Elementos al árabe, y era uno de los compañeros de al-Juarismi en la Casa de la Sabiduría. Esto avalaría la posición de Toomer (op.cit.). Rashed comenta[19] que "el tratamiento [de al-Juarismi] fue probablemente inspirado en el reciente conocimiento de "los Elementos". Pero, por su parte, Gandz[20] sostiene que los Elementos le eran completamente desconocidos. Aunque es inseguro que haya efectivamente conocido la obra euclidiana, es posible afirmar que fue influido por otras obras de geometría; véase el tratamiento de Parshall[21] sobre las similitudes metodológicas con el texto hebreo Mishnat ha Middot, de mediados del siglo II.

Sello conmemorativo de la URSS de 1983 homenaje a Al-Juarismi.

Continúa el Hisab al-ŷabr wa'l-muqabala examinando cómo las leyes de la aritmética se extienden a sus objetos algebraicos. Por ejemplo, muestra cómo multiplicar expresiones como ${\displaystyle (a+bx)(c+dx)}$. Rashed (op. cit.) encuentra sus formas de resolución extremadamente originales, pero Crossley[22] las considera menos significativas. Gandz considera que la paternidad del álgebra es mucho más atribuible a al-Juarismi que a Diofanto.[23]

La parte siguiente consiste en aplicaciones y ejemplos. Describe reglas para hallar el área de figuras geométricas como el círculo, y el volumen de sólidos como la esfera, el cono y la pirámide. Esta sección, ciertamente, tiene mucha mayor afinidad con los textos hebreos e indios que con cualquier obra griega. La parte final del libro se ocupa de las complejas reglas islámicas de herencia, pero requiere poco del álgebra que expuso anteriormente, más allá de la resolución de ecuaciones lineales.

No se conserva el tratado original en árabe pero sí cuatro traducciones al latín que sirven como fuente.[24]

De su aritmética, denominada originalmente con cierta seguridad Kitab al-Ŷamaa wa al-Tafriq bi Hisab al-Hind, (كتاب الجامع و التفريق بحساب الهند), Libro de la suma y de la resta, según el cálculo indio, se conserva la versión latina del siglo XII, Algoritmi de numero Indorum y otra titulada Liber Algoarismi traducido por Juan Hispalense, perteneciente a la Escuela Toledana de Traducción, en 1133.[25] Desafortunadamente, se sabe que la obra[26] se aparta bastante del texto original. En esta obra se describen con detalle los números indoarábigos, el sistema indio de numeración posicional en base 10 y métodos para hacer cálculos con él. Se sabe que había un método para encontrar raíces cuadradas en la versión árabe, pero no aparece en la versión latina. Posiblemente fue el primero en utilizar el cero como indicador posicional. Fue esencial para la introducción de este sistema de numeración en el mundo árabe, al-Ándalus y posteriormente en Europa. André Allard[27] discute algunos tratados en latín del siglo XII basados en esta obra perdida.

Como parte de la ola de ciencia árabe del siglo XII que fluyó hacia Europa a través de las traducciones, estos textos demostraron ser revolucionarios en Europa.[28] El nombre latinizado de Al-Khwarizmi, Algorismus, se convirtió en el nombre del método utilizado para los cálculos y sobrevive en el término moderno "algoritmo". Reemplazó gradualmente los métodos anteriores basados en el ábaco utilizados en Europa.[29]

Han sobrevivido cuatro textos latinos que proporcionan adaptaciones de los métodos de Al-Khwarizmi, aunque se cree que ninguno de ellos es una traducción literal:[30]

• Dixit Algorizmi (publicado en 1857 con el título Algoritmi de Numero Indorum[31])[32]
• Liber Alchoarismi de Practica Arismetice
• Liber Ysagogarum Alchorismi
• Liber pulveris

Dixit Algorizmi ('Así habló Al-Khwarizmi') es la frase inicial de un manuscrito de la biblioteca de la Universidad de Cambridge, a la que generalmente se hace referencia por su título de 1857 Algoritmi de Numero Indorum. Se atribuye al Adelardo de Bath, que también había traducido las tablas astronómicas en 1126. Es quizás el más cercano a los propios escritos de Al-Khwarizmi.[32]

El trabajo de Al-Khwarizmi sobre aritmética fue responsable de introducir los números arábigos, basados en el sistema de numeración hindú-árabe desarrollado en las matemáticas indias, en el mundo occidental. El término "algoritmo" se deriva del algoritmo, la técnica de realizar aritmética con indo-arábigos números desarrollados por al-Khwarizmi. Tanto el "algoritmo" como el "algorismo" se derivan de las formas latinizadas del nombre de al-Khwārizmī, Algoritmi y Algorismi , respectivamente.

De su tratado sobre astronomía, Sindhind zij, también se han perdido las dos versiones que escribió en árabe. Esta obra[33] se basa en trabajos astronómicos indios "a diferencia de manuales islámicos de astronomía posteriores, que utilizaron los modelos planetarios griegos del 'Almagesto' de Ptolomeo".[34] El texto indio en que se basa el tratado es uno de los obsequiados a la corte de Bagdad alrededor de 770 por una misión diplomática de la India. En el siglo X al-Maŷriti realizó una revisión crítica de la versión más corta, que fue traducida al latín por Adelardo de Bath; existe también una traducción latina de la versión más larga, y ambas traducciones han llegado hasta nuestro tiempo. Los temas principales cubiertos en la obra son los calendarios; el cálculo de las posiciones verdaderas del Sol, la Luna y los planetas; tablas de senos y tangentes; astronomía esférica; tablas astrológicas; cálculos de paralajes y eclipses; y visibilidad de la Luna. Rozenfel'd analiza un manuscrito relacionado sobre trigonometría esférica,[35] atribuido a al-Juarismi.

Monumento a Al-Juarismi en la Ciudad Universitaria de Madrid

En el ámbito de la geografía, en una obra llamada Kitab Surat al-Ard (en árabe: كتاب صورةلأرض ,Libro de la apariencia de la Tierra o de la imagen de la Tierra), escrito en el año 833, revisó y corrigió los trabajos anteriores de Ptolomeo con respecto a África y el Oriente. Lista latitudes y longitudes de 2.402 lugares, y emplazó ciudades, montañas, mares, islas, regiones geográficas y ríos, como base para un mapa del mundo conocido entonces. Incluye mapas que, en conjunto, son más precisos que los de Ptolomeo. Está claro que donde hubo mayor conocimiento local disponible para al-Khwârazm, como las regiones del Islam, África y el Lejano Oriente , el trabajo es mucho más exacto que el de Ptolomeo, pero parece haber usado los datos de este para Europa. Se dice que, en estos mapas, trabajaron a sus órdenes setenta geógrafos.

Solo existe una única copia sobreviviente del Kitab Surat-al-Ard, guardada en la Biblioteca de la Universidad de Estrasburgo. En la Biblioteca Nacional de España de Madrid se conserva una copia traducida al latín.

Aunque ni la copia en árabe ni la traducción al latín incluyen el mapa del mundo, Hubert Daunicht pudo reconstruir un mapamundi usando su lista de coordenadas.[36]

Al-Khwarizmi corrigió la sobreestimación que había hecho Ptolomeo sobre la superficie del Mar Mediterráneo[37][38] (desde las Islas Canarias a las costas del este del Mediterráneo); Ptolomeo hizo una estimación que el mar Mediterráneo tenía 63 grados de longitud , mientras que él hizo la estimación más correcta que el mar tenía unos 50 grados de longitud.[39] También contrarió a Ptolomeo diciendo que el océano Atlántico y el océano Índico eran dos cuerpos abiertos de agua, no mares.[40] Al-Khwarizmi también estableció el meridiano de Greenwich del Viejo Mundo en la orilla oriental del Mediterráneo, 10-13 grados al este de Alejandría (Ptolomeo situó el meridiano 70 grados al oeste de Bagdad). La mayoría de los geógrafos musulmanes de la edad medieval continuaron usando el meridiano de Greenwich de al-Khwarizmi.

La mayoría de los topónimos usados por al-Khwarizmi coinciden con los de Ptolomeo, los de Martellus y los de Behaim. La forma general de la costa es la misma entre Taprobane y Kattigara. La costa atlántica de la cola del Dragón, que no existe en el mapa de Ptolomeo, se traza en muy pocos detalles en el mapa de Al-Khwarizmi, pero es clara y más precisa que la del mapa de Martellus y la versión de Behaim.

El Kitāb al-Fihrist de Ibn al-Nadim, un índice de libros árabes, menciona el Kitāb al-Taʾrīkh de al-Khwārizmī (en árabe : كتاب التأريخ ), un libro de anales. No sobrevive ningún manuscrito directo; sin embargo, una copia había llegado a Nusaybin en el siglo XI, donde la encontró su obispo metropolitano, Mar Elyas bar Shinaya. La crónica de Elías lo cita desde "la muerte del Profeta" hasta el año 169 AH, momento en el que el texto de Elías se encuentra en una laguna.[41]

Varios manuscritos árabes en Berlín, Estambul, Taskent, El Cairo y París contienen más material que seguramente o con cierta probabilidad proviene de al-Khwārizmī. El manuscrito de Estambul contiene un artículo sobre relojes de sol; el fihrist atribuye a al-Khwārizmī Kitāb ar-Rukhāma (t) ( árabe : كتاب الرخامة ). Otros trabajos, como uno sobre la determinación de la dirección de La Meca, tratan sobre la astronomía esférica

Dos textos merecen un interés especial sobre el ancho de la mañana ( Ma'rifat sa'at al-mashriq fī kull balad ) y la determinación del acimut desde una altura ( Ma'rifat al-samt min qibal al-irtifā ' ).

Su obra conocida se completa con una serie de obras menores sobre temas como el astrolabio, sobre el que escribió dos textos, sobre relojes solares y sobre el calendario judío. También escribió una historia política conteniendo horóscopos de personajes prominentes.

• El cráter lunar Al-Khwarizmi lleva este nombre en su memoria.[42]
• El asteroide (13498) Al Chwarizmi también conmemora su nombre.[43]