Potenciación

Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:

(1)${\displaystyle {\begin{array}{ll}a^{1}=&a\\a^{2}=&a\times a\\\vdots &\vdots \\a^{n}=&\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n{\text{ veces}}},\end{array}}}$

Esta definición puede aplicarse tanto a números reales como complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, que pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.

Se conserva la base y se suman los exponentes; es decir:

${\displaystyle a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}}$

${\displaystyle a^{n}\times a^{m}=\underbrace {\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}\times \underbrace {a\times \cdots \times a} _{m}} _{n+m}=a^{n+m}}$

Ejemplos:

${\displaystyle 9^{3}\cdot 9^{2}=9^{3+2}=9^{5}}$

La potencia de una potencia en matriz cuadrada es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

${\displaystyle {(a^{m})}^{n}=a^{m\cdot n}}$

${\displaystyle (a^{m})^{n}={(\underbrace {a\times \cdots \times a} _{m})}^{n}=n{\begin{cases}\underbrace {\begin{matrix}a\times &\cdots &\times a\times \\\vdots &&\vdots \\a\times &\cdots &\times a\end{matrix}} _{m}\end{cases}}=a^{m\cdot n}}$

Debido a esto, la notación ${\displaystyle a^{b^{c}}}$ se reserva para significar ${\displaystyle a^{(b^{c})}}$ ya que ${\displaystyle {(a^{b})}^{c}}$ se puede escribir sencillamente como ${\displaystyle a^{bc}\,}$.

La potencia de un Producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:

${\displaystyle (a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}}$

${\displaystyle (a\times b)^{n}=n{\begin{cases}{\begin{matrix}a\times b\times \\\vdots \\a\times b\end{matrix}}\end{cases}}=a^{n}\times b^{n}}$

Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:

${\displaystyle (-a)^{n}=\;\;\;\;\;a^{n}}$ si ${\displaystyle n}$ es par. ${\displaystyle (-a)^{n}=-(a^{n})}$ si ${\displaystyle n}$ es impar.

${\displaystyle {\begin{array}{ll}(-a)^{1}=&-a\\(-a)^{2}=&(-a)\times (-a)=a^{2}\\(-a)^{3}=&\underbrace {(-a)\times (-a)} _{a^{2}}\times (-a)=-(a^{3})\\\vdots &\\(-a)^{n}=&\underbrace {((-a)\times (-a))\times \cdots \times ((-a)\times (-a))} _{n{\text{ par}}}=a^{n}\\(-a)^{n}=&\underbrace {\underbrace {((-a)\times (-a))\times \cdots \times ((-a)\times (-a))} _{n-1{\text{ par por tanto es }}a^{n-1}}\times (-a)} _{n{\text{ impar}}})=-(a^{n}),\end{array}}}$

Si la base a tiene inverso multiplicativo ${\displaystyle c}$, es decir ${\displaystyle c\cdot a=1}$ o que ${\displaystyle c={\frac {1}{a}}}$, entonces este se denota por ${\displaystyle a^{-1},}$ y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:

(2)${\displaystyle {\begin{array}{l}a^{-1}={\frac {1}{a}}\\a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}\end{array}}}$

Observación

${\displaystyle a^{-n}=(a^{-1})^{n}=\underbrace {{\frac {1}{a}}\times \cdots \times {\frac {1}{a}}} _{n}={\frac {1}{\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}.}$

El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor,[1] esto es:

${\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}$

${\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m}\cdot a^{-n}}$ ${\displaystyle =a^{m+(-n)}}$ ${\displaystyle =a^{m-n}}$ De forma extendida aparecen tres casos: ${\displaystyle ={\frac {\overbrace {a\times \cdots \times a} ^{m}}{\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}}}}$ ${\displaystyle ={\begin{cases}{\begin{matrix}{\frac {\overbrace {{\cancel {a}}\times \cdots \times {\cancel {a}}} ^{n}\times \overbrace {a\times \cdots \times a} ^{m-n}}{\underbrace {{\cancel {a}}\times \cdots \times {\cancel {a}}} _{n}}}=a^{m-n}&{\text{Si }}m>n\\{\frac {\overbrace {{\cancel {a}}\times \cdots \times {\cancel {a}}} ^{m}}{\underbrace {{\cancel {a}}\times \cdots \times {\cancel {a}}} _{n}}}=1&{\text{Si }}m=n\\{\frac {\overbrace {{\cancel {a}}\times \cdots \times {\cancel {a}}} ^{m}}{\underbrace {{\cancel {a}}\times \cdots \times {\cancel {a}}} _{m}\times \underbrace {a\times \cdots \times a} _{n-m}}}={\frac {1}{a^{n-m}}}&{\text{Si }}m<n\end{matrix}}\end{cases}}}$

Ejemplo:

${\displaystyle {\frac {9^{5}}{9^{3}}}=9^{5-3}=9^{2}}$

Por convención, un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:[2][3]

${\displaystyle 1={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}\,}$

El caso particular de ${\displaystyle 0^{0}\,}$ no está definido y es conocido como una indeterminación.

La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}=}$${\displaystyle \left(a\cdot b^{-1}\right)^{n}=}$ ${\displaystyle a^{n}\cdot b^{-n}=}$ ${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$ O de forma extendida: ${\displaystyle =\underbrace {{\frac {a}{b}}\times \cdots \times {\frac {a}{b}}} _{n}={\frac {a\times \cdots \times a}{b\times \cdots \times b}}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo ${\displaystyle a^{-1}}$, por lo que solo se presentan exponentes de números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2) como valor numérico:

${\displaystyle 0^{1}=0}$

La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo ${\displaystyle x^{n}=a}$, de manera que ${\displaystyle x={\sqrt[{n}]{a}}}$, pero se ha de garantizar por el teorema de existencia y unicidad de las raíces cuadradasque, que dicha x sea un número real y esto solo se puede garantizar para todo n si la base a es un número real positivo:

Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el exponente:

(3)${\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}$

Observación

${\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a^{{\frac {1}{n}}\cdot n}=a^{1}=a.}$

En general para las fracciones se define que:

(4)${\displaystyle {\begin{array}{ll}a^{\frac {n}{m}}&={\sqrt[{m}]{a^{n}}}\\a^{-{\frac {n}{m}}}&={\frac {1}{a^{\frac {n}{m}}}}\end{array}}}$

Relación

${\displaystyle a^{\frac {n_{1}}{m_{1}}}=a^{\frac {n_{2}}{m_{2}}}\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle {\frac {n_{1}}{m_{1}}}={\frac {n_{2}}{m_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {n_{1}}{m_{1}}}={\frac {n_{2}}{m_{2}}}\Rightarrow }$ ${\displaystyle n_{1}\cdot m_{2}=n_{2}\cdot m_{1}}$ ${\displaystyle a^{\frac {n_{1}}{m_{1}}}=a^{\frac {n_{2}}{m_{2}}}\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \left(a^{\frac {n_{1}}{m_{1}}}\right)^{m_{1}\cdot m_{2}}=\left(a^{\frac {n_{2}}{m_{2}}}\right)^{m_{1}\cdot m_{2}}\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle a^{n_{1}\cdot m_{2}}=a^{m_{1}\cdot n_{2}}.}$

${\displaystyle a^{\frac {n_{1}}{m_{1}}}\cdot a^{\frac {n_{2}}{m_{2}}}=a^{{\frac {n_{1}}{m_{1}}}+{\frac {n_{2}}{m_{2}}}},}$

${\displaystyle \left(a^{\frac {n_{1}}{m_{1}}}\right)^{\frac {n_{2}}{m_{2}}}=a^{{\frac {n_{1}}{m_{1}}}\cdot {\frac {n_{2}}{m_{2}}}},}$

${\displaystyle (a\cdot b)^{\frac {n}{m}}=a^{\frac {n}{m}}\cdot b^{\frac {n}{m}}.}$

La potenciación puede extenderse a exponentes reales usando sucesiones racionales; esto se recoge en el siguiente teorema:

Nótese que las sucesivas aproximaciones de ${\displaystyle a^{n}}$ tienen como exponente números racionales, con lo que para que la definición sea consistente, se exige que a sea un número real positivo.

Análogamente, se puede extender la potenciación a funciones, usando la función exponencial, y su inversa, la función logaritmo natural, en un proceso que se denomina exponenciación. Así, se define

${\displaystyle f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}}$.

De igual manera, esta es totalmente consistente si el conjunto imagen de ${\displaystyle f(x)}$ es el conjunto de los números reales positivos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$, o algún subconjunto de este, siendo los valores de la función exponente ${\displaystyle f(x)}$ números reales cualquiera, debido a que el logaritmo natural no está definido para números negativos.

Puede extenderse a exponentes complejos usando funciones analíticas o holomorfas, así ${\displaystyle a^{b}={\mbox{det-exp}}(b\cdot {\mbox{det-log }}a)}$ donde det-exp es la determinación de la exponencial y det-log es la determinación del logaritmo natural.

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción (véase productos notables), es decir, no se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta:

${\displaystyle (a+b)^{m}\ \neq \ a^{m}+b^{m}}$

${\displaystyle (a-b)^{m}\ \neq \ a^{m}-b^{m}}$

No cumple la propiedad conmutativa:

${\displaystyle a^{b}\ \neq \ b^{a}}$

Tampoco cumple la propiedad asociativa:

${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}=a^{(b\cdot c)}=a^{bc}}$

Para las potencias con base 10 y exponente entero, el efecto será desplazar la coma decimal tantas posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo.

Ejemplos:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}10^{-6}&=&0,000001\\10^{-5}&=&0,00001\\10^{-4}&=&0,0001\\10^{-3}&=&0,001\\10^{-2}&=&0,01\\10^{-1}&=&0,1\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}10^{0}&=&1\\10^{1}&=&10\\10^{2}&=&100\\10^{3}&=&1.000\\10^{4}&=&10.000\\10^{5}&=&100.000\\10^{6}&=&1.000.000\end{array}}}$

Las potencias de base 10 se utilizan con frecuencia para expresar números grandes (con muchas cifras) o pequeños (con muchos decimales). Por ejemplo, el número decimal 0,00000123 puede expresarse como ${\displaystyle 123\cdot 10^{-8}}$. Esa forma de escribir los números se conoce como notación científica.[4]

El caso especial ${\displaystyle 0^{0}\,}$se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden ser asignados distintos valores dependiendo de las propiedades específicas que se quieran mantener.

Por ejemplo, puede argumentarse que ${\displaystyle 0^{0}\,}$es el igual al valor del límite

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{0}}$

y como ${\displaystyle x^{0}=1}$ para ${\displaystyle x\neq 0}$, dicho valor podría ser igual a 1. Sin embargo también puede considerarse dicha expresión como el valor del límite

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}0^{x}}$

y como ${\displaystyle 0^{x}=0}$ para ${\displaystyle x\neq 0}$, dicho valor podría ser igual a 0. Esto ilustra que la forma ${\displaystyle 0^{0}\,}$ puede corresponder a diferentes valores y por ello se considera indefinida.

El debate sobre el valor de la forma ${\displaystyle 0^{0}\,}$ tiene casi dos siglos de antigüedad. Durante los primeros días del análisis matemático en que el fundamento formal del cálculo no se había establecido, era común aceptar que ${\displaystyle 0^{0}\,}$=1. Sin embargo, en 1821 cuando Cauchy publica el Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique estableciendo el primer tratamiento riguroso del análisis, dicha forma aparece en una tabla de formas indefinidas junto a otras como 0/0. En los años 1830, Libri[5][6] publicó un argumento para asignar 1 como valor de ${\displaystyle 0^{0}\,}$ y Möbius[7] lo apoyó afirmando erróneamente que

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1\,}$ siempre que ${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0.}$

Sin embargo un comentarista que firmó simplemente como «S» proporcionó un contraejemplo

${\displaystyle f(t)^{g(t)}={(e^{-1/t})}^{t}}$

cuyo límite cuando ${\displaystyle t\to 0^{+}}$ es ${\displaystyle 1/e}$, lo cual calmó el debate con la aparente conclusión del incidente que ${\displaystyle 0^{0}\,}$ debería permanecer indefinida. Se pueden encontrar más detalles en Knuth (1992).[8]

En la actualidad, suele considerarse la forma ${\displaystyle 0^{0}\,}$ como indefinida y no se le asigna valor si no se tiene un contexto en el cual el valor asignado tenga sentido.[9][10][11]

Para calcular límites cuyo valor aparente es ${\displaystyle 0^{0}\,}$ suele usarse la regla de l'Hôpital.

La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales. Dado un anillo ${\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {A} ,+,\cdot )}$ la operación de potenciación se define como:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\mathrm {Pot}$ :&\mathbb {A} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {A} \\&(x,n)&\longrightarrow &y=\mathrm {Pot} (x,n)=x^{n}\end{array}}}

Esto difiere de la exponenciación que es definible sobre un cuerpo que contenga a los racionales o ciertas álgebras sobre los reales o complejos:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\mathrm {Exp}$ :&\mathbb {A} &\longrightarrow &\mathbb {A} \\&x&\longrightarrow &y=\mathrm {Exp} (x)=e^{x}\end{array}}}

${\displaystyle \mathrm {Exp} (x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}}$

Obviamente la exponenciación solo se puede definir sobre un conjunto en el que sea posible definir la potenciación, aunque un anillo admitirá siempre la operación de potenciación (con exponente natural) aunque no admita la exponenciación.

Para cualquiera de los números reales ${\displaystyle a,b,c,d\,}$ se tiene la identidad:

${\displaystyle \left(a\,e^{i\,b}\right)^{\left(c\,e^{i\,d}\right)}=a^{c\,\cos d}\,e^{i\,\left(c\,\log a\,\sin d+b\,c\,\cos d\right)-b\,c\,\sin d}}$

• Ortega, Joaquín M. (1993). «Potencias de base real positiva y exponente real». Introducción al análisis matemático. Barcelona: Universidad Autónoma de Barcelona/Labor. pp. 51-54. ISBN 978-8-433-53047-9. OCLC 37802457.