Número plateado

En fracción continua, la razón plateada ${\displaystyle [2,2,2,...]}$ se expresa:

${\displaystyle \delta _{S}=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}$

La propiedad de equidistribución está definida de la siguiente manera:

• Se dice que una sucesión de números reales x₀, x₁, x₂, . . . en el intervalo [0,1) está equi-distribuida (o "uniformamente densa") si para todo sub-intervalo [a, b] de [0,1) la sucesión FN = # { j | xj está en [a, b] y j está en {0, 1, 2, ..., N}/(N + 1) converge a | b - a |, cuando N tiende al infinito.

Como el intervalo numérico se encuentra abierto por la derecha nunca asume el valor 1, por lo que b<1, y por lo tanto no cumple la condición de equidistribución módulo 1.

En las aproximaciones diofánticas, la secuencia de partes fraccionales de

xⁿ, n = 1, 2, 3, ...

Se puede ver que la equidistribución mod 1, para casi todos los números reales que x > 1. La razón plateda es una excepción.

Las potencias inferiores de la razón plateada son:

${\displaystyle \!\ \delta _{S}^{0}=1}$

${\displaystyle \delta _{S}^{1}=\delta _{S}+0}$

${\displaystyle \delta _{S}^{2}=2\delta _{S}+1}$

${\displaystyle \delta _{S}^{3}=5\delta _{S}+2}$

${\displaystyle \delta _{S}^{4}=12\delta _{S}+5}$

Las potencias continúan con el patrón

${\displaystyle \!\ \delta _{S}^{n}=K_{n}\delta _{S}+K_{(n-1)}}$

donde

${\displaystyle \!\ K_{n}=2K_{(n-1)}+K_{(n-2)}}$

Por ejemplo, empleando esta propiedad:

${\displaystyle \!\ \delta _{S}^{5}=29\delta _{S}+12}$

Empleando ${\displaystyle \!\ K_{0}=1}$ y ${\displaystyle \!\ K_{1}=2}$ como condición inicial, una fórmula tipo-Binet daría la solución en forma recurrente...

${\displaystyle \!\ K_{n}=2K_{(n-1)}+K_{(n-2)}}$

lo cual acaba siendo...

${\displaystyle \!\ K_{n}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{(\delta _{S}^{n+1}-{(2-\delta _{S})}^{n+1})}}$

Estas propiedades sólo son válidas para enteros m; para números no enteros las propiedades son similares, pero difieren ligeramente. Las propiedades mostradas más abajo para las potencias de la razón plateada son una consecuencia de las propiedades que muestran. Para la expresión de la razón plateada S de m, la propiedad puede generalizarse como

${\displaystyle \!\ S_{m}^{n}=K_{n}S_{m}+K_{(n-1)}}$

donde

${\displaystyle \!\ K_{n}=mK_{(n-1)}+K_{(n-2)}}$

Empleando las condiciones iniciales ${\displaystyle \!\ K_{0}=1}$ and ${\displaystyle \!\ K_{1}=m}$, esta relación recurrente llega a ser ...

${\displaystyle \!\ K_{n}={\frac {1}{\sqrt {m^{2}+4}}}{(S_{m}^{n+1}-{(m-S_{m})}^{n+1})}}$

Las potencias de la razón plateada poseen otras propiedades interesantes:

Si n es un número entero positivo y par:

${\displaystyle \!\ {{S_{m}^{n}-\lfloor S_{m}^{n}\rfloor } \over S_{m}^{-n}}=S_{m}^{n}-1}$

Además,

${\displaystyle \!\ {1 \over {S_{m}^{4}-\lfloor S_{m}^{4}\rfloor }}+\lfloor S_{m}^{4}-1\rfloor =S_{(m^{4}+4m^{2}+1)}}$

${\displaystyle \!\ {1 \over {S_{m}^{6}-\lfloor S_{m}^{6}\rfloor }}+\lfloor S_{m}^{6}-1\rfloor =S_{(m^{6}+6m^{4}+9m^{2}+1)}}$

También,

${\displaystyle \!\ S_{m}^{3}=S_{(m^{3}+3m)}}$

${\displaystyle \!\ S_{m}^{5}=S_{(m^{5}+5m^{3}+5m)}}$

${\displaystyle \!\ S_{m}^{7}=S_{(m^{7}+7m^{5}+14m^{3}+7m)}}$

${\displaystyle \!\ S_{m}^{9}=S_{(m^{9}+9m^{7}+27m^{5}+30m^{3}+9m)}}$

${\displaystyle \!\ S_{m}^{11}=S_{(m^{11}+11m^{9}+44m^{7}+77m^{5}+55m^{3}+11m)}}$

La media de la razón plateada S de m también tiene la propiedad que:

${\displaystyle \!\ 1/S_{m}=S_{m}-m}$

lo cual significa que la media de la expresión plateada tiene la misma parte decimal que la correspondiente expresión plateada. Empleando esta propiedad, la expresión de la razón plateada definida para todos los números debe satisfacer:

${\displaystyle \!\ x\equiv x^{-1}{\pmod {1}}}$

Si expandimos la expresión de la razón dorada S de m tal que

${\displaystyle \!\ S_{m}=a+b}$

donde a es la parte entera de S y b, entonces la siguiente propiedad es cierta:

${\displaystyle \!\ S_{m}^{2}=a^{2}+mb+1.}$

Por ser (para todos los m mayores que 0), la parte entera de S_m = m, a=m. Para m>1, donde tenemos que

${\displaystyle \!\ S_{m}^{2}=ma+mb+1}$

${\displaystyle \!\ S_{m}^{2}=m(a+b)+1}$

${\displaystyle \!\ S_{m}^{2}=m(S_{m})+1}$

Por lo tanto, la expresión de la razón plateada de m es una solución de la ecuación

${\displaystyle \!\ x^{2}-mx-1=0}$

Es interesante resaltar que la expresión de la expresión S of −m es la inversa de la expresión S de m.

${\displaystyle \!\ {1/S_{m}}=S_{(-m)}=S_{m}-m.}$

Otro resultado interesante se puede obtener mediante un ligero cambio en la fórmula de la expresión. Si consideramos un número

${\displaystyle \!\ {\frac {1}{2}}\left(n+{\sqrt {n^{2}+4c}}\right)=R}$

entonces las siguientes propiedades son ciertas:

${\displaystyle \!\ R-\lfloor R\rfloor =c/R}$ si c es real,

${\displaystyle \!\ \left({1 \over R}\right)c=R-\lfloor \mathrm {Re} (R)\rfloor }$ si c es un múltiplo de i.