Número áureo

Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:

Deducción

	1	2
Ecuaciones	${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}}$	${\displaystyle \varphi ={\frac {a}{b}}}$
Simplificando	${\displaystyle 1+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}}$
Sustituyendo	${\displaystyle 1+\varphi ^{-1}=\varphi }$
Multiplicando ${\displaystyle (\varphi )}$	${\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}$
Despejando	${\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi -1=0}$
Solución positiva	${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{\textrm {.}}6180339887498948482045868343656381177203\ldots }$

que es el valor del número áureo, equivalente a la relación ${\displaystyle a/b}$.

El primero en hacer un estudio formal del número áureo fue Euclides (c. 300 a. C-265 a. C.), quien lo definió de la siguiente manera:

Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.

Euclides Los Elementos Definición 3 del Libro Sexto.

Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros; es decir, es un número irracional.

Platón (c. 428-347 a. C.) puede haber estudiado el número áureo; sin embargo, puede ser que se le atribuya el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido a que el historiador griego Proclo escribió:

Eudoxo… multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen.

Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides.

Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave de la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.

En 1509 el matemático y teólogo italiano Luca Pacioli publicó De Divina Proportione (La Divina Proporción), donde plantea cinco razones por las que estima apropiado considerar divino al número áureo:

1. La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios.
2. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.
3. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del número áureo y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes.
4. La autosimilitud asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios.
5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro, el número áureo dio ser al dodecaedro.

En 1525, Alberto Durero publicó Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas, donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral áurea basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.

El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) desarrolló un modelo platónico del sistema solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos:

La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de plata; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa.

Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El misterio cósmico).

El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las matemáticas puras elementales). Ohm escribe en una nota al pie:

Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como estas la sección dorada.

Martin Ohm en Die Reine Elementar Matematik (Las matemáticas puras elementales).

A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830.

En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue τ, del griego τομή, que significa ‘corte o sección’. Sin embargo, la moderna denominación Φ o φ la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor a Fidias, ya que esta era la primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας). Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro The Curves of Life, de sir Theodore Cook.

${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{\varphi +{1}}}\approx 137{.}5^{\circ }}$ razón número áureo

• ${\displaystyle \textstyle \varphi =1.618033988749894848204586834365638117720309...}$ es el único número real positivo tal que:

${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1\ }$

• φ posee además las siguientes propiedades, derivadas de la anterior:

${\displaystyle \varphi -1={\frac {1}{\varphi }}\ }$

${\displaystyle \varphi ^{3}={\frac {\varphi +1}{\varphi -1}}\ }$

${\displaystyle \varphi ^{2}-{\frac {1}{\varphi }}=2\ }$

• Las potencias del número áureo pueden expresarse en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, establecida una verdadera sucesión recurrente de potencias.

El caso más simple es: ${\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}\,}$, cualquiera sea n un número entero. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.

Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma:

${\displaystyle a_{1}u_{n+k-1}+a_{2}u_{n+k-2}+...+a_{k}u_{n}\,}$,

donde ${\displaystyle a_{i}\,}$ es cualquier número real o complejo y k es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es ${\displaystyle \scriptstyle k=2\,}$, ${\displaystyle \scriptstyle a_{1}=1\,}$ y ${\displaystyle \scriptstyle a_{2}=1\,}$.

Pero podemos «saltar» la potencia inmediatamente anterior y escribir:

${\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-2}+2\varphi ^{n-3}+\varphi ^{n-4}\,}$. Aquí ${\displaystyle \scriptstyle k=4\,}$, ${\displaystyle \scriptstyle a_{1}=0\,}$, ${\displaystyle \scriptstyle a_{2}=1\,}$, ${\displaystyle \scriptstyle a_{3}=2\,}$ y ${\displaystyle \scriptstyle a_{4}=1\,}$.

Si anulamos las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula recurrente de orden 6:

${\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-3}+3\varphi ^{n-4}+3\varphi ^{n-5}+\varphi ^{n-6}\,}$

En general:

${\displaystyle \varphi ^{n}=\sum _{i=0}^{k/2}{{\frac {k}{2}} \choose i}\varphi ^{\left[\textstyle n-\left(\textstyle {\frac {k}{2}}+i\right)\right]};\qquad k=2j,\ n,\ i\in \mathbb {N} }$.

En resumen, cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8,..., 2k; donde k es un número natural. En la fórmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de ${\displaystyle \varphi }$, hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de ${\displaystyle \varphi }$ corresponde a una potencia positiva de su inverso, la sección áurea.

Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio, parecieran indicar que entre el número áureo y el número e hay un parentesco.

• El número áureo ${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$ es la unidad fundamental «ε» del cuerpo de números algebraicos ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {5}}\right)}$ y la sección áurea ${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$ es su inversa, «${\displaystyle \varepsilon ^{-1}}$». En esta extensión el «emblemático» número irracional ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ cumple las siguientes igualdades:

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}}$.

La expresión mediante fracciones continuas es:

${\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}\quad \longrightarrow \quad \varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+...}}}}}}}}}$

Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también la más simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia más lenta. Esa propiedad hace que además el número áureo sea un número mal aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado posible de aproximabilidad mediante racionales.[8]

Por ello se dice que ${\displaystyle \varphi }$ es el número más alejado de lo racional o el número más irracional. Este es el motivo por el cual aparece en el teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser.

${\displaystyle \varphi =1+2\operatorname {sen}(\pi /10)=1+2\operatorname {sen} 18^{\circ }}$

${\displaystyle \varphi ={1 \over 2}\csc(\pi /10)={1 \over 2}\csc 18^{\circ }}$

${\displaystyle \varphi =2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }}$

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{2}}\sec {\frac {2}{5}}\,\pi ={\frac {1}{2}}\sec 72^{\circ }}$

${\displaystyle \varphi ={\frac {\operatorname {sen}(2\pi /5)}{\operatorname {sen}(1\pi /5)}}\,={\frac {\operatorname {sen}(72^{\circ })}{\operatorname {sen}(36^{\circ })}}}$

Estas corresponden al hecho de que la diagonal de un pentágono regular (distancia entre dos vértices no consecutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otras relaciones similares en el pentagrama.

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+\varphi }}\quad \longrightarrow \quad \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}}$

Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1917. El teorema general dice que la expresión

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+{\sqrt {a_{3}+{\sqrt {a_{4}+{\sqrt {\cdots +{\sqrt {a_{n}}}}}}}}}}}}}}$

donde ${\displaystyle a_{i}=a\,}$, es igual a la mayor de las raíces de la ecuación ${\displaystyle x^{2}-x-a=0,}$ o sea, ${\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {1+4a}}}{2}}}$.

Si se denota el enésimo número de Fibonacci como F_n, y al siguiente número de Fibonacci como F_{n + 1}, descubrimos que, a medida que n aumenta, esta razón oscila y es alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo: ${\displaystyle \textstyle {\frac {3}{2}}=1.5}$; ${\displaystyle \textstyle {\frac {8}{5}}=1.6}$; y ${\displaystyle \textstyle {\frac {21}{13}}=1.61538461...}$, lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi }$

Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler, pero pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático escocés Robert Simson.

Con posterioridad se encontró que cualquier sucesión aditiva recurrente de orden 2 tiende al mismo límite. Por ejemplo, si tomamos dos números naturales arbitrarios, por ejemplo 3 y 7, la sucesión recurrente resulta: 3, 7, 10, 17, 27, 44, 71, 115, 186, 301, … Los cocientes de términos sucesivos producen aproximaciones racionales que se acercan asintóticamente por exceso y por defecto al mismo límite: 44/27 = 1.6296296…; 71/44 = 1.613636…; 301/186 = 1.6182795.[9]

A mediados del siglo XIX, el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:

${\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]\quad ={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}\right]}$

para n >0 y  n es un número entero positivo.

El triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo formado por tres cuadrados con áreas en progresión geométrica de acuerdo al número áureo.

El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semirregulares en los que haya simetría pentagonal, que sean pentágonos o que aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.

• Relaciones entre las partes del pentágono.
• Relaciones entre las partes del pentágono estrellado, pentáculo o pentagrama.
• Relaciones entre las partes del decágono.
• Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.

El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. Euclides, en su proposición 2.11 de Los elementos, obtiene su construcción:

${\displaystyle GC={\sqrt {5}}}$

Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto:

${\displaystyle GE=GC={\sqrt {5}}}$

con lo que resulta evidente que

${\displaystyle AE=AG+GE=1+{\sqrt {5}}}$

de donde, finalmente,

${\displaystyle {\frac {AE}{AD}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi }$

Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que este último es asimismo un rectángulo áureo.

Generación de un rectángulo áureo a partir de otro

De otra manera:

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+1}}+{\frac {1}{2}}}$

Los segmentos coloreados del pentagrama poseen proporciones áureas.

El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento se interseca con otro segmento en una razón áurea.

El pentagrama incluye diez triángulos isósceles: cinco acutángulos y cinco obtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es φ. Estos triángulos se conocen como los triángulos áureos.

Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo, se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea Φ. Por lo tanto, el número de veces en que aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al añadir infinitos pentagramas.

Se puede calcular el número áureo usando el teorema de Ptolomeo en un pentágono regular.

Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante regla y compás. Aplicando este teorema, se forma un cuadrilátero al quitar uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden b, y los lados y la base menor miden a, resulta que b² = a² + ab lo que implica:

${\displaystyle {b \over a}={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\,.}$

Aparece el número de la justa razón entre los segmentos parciales de los lados de un pentágono estrellado.[10]

El seno de 18º es la mitad del inverso del número de la justa razón.[11]

• cos 36º es la mitad del número áureo.[12]

• De igual modo 2 cos 36º - 2 sen 18º = φ - 1/φ.

El número áureo está relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo.

Los 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud 2 pueden expresarse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos:

(0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)

Los 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/φ=√5−1 también se pueden dar en términos similares:

(±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)

Los 12 vértices de los tres rectángulos áureos coinciden con los centros de las caras de un dodecaedro.

Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen y su área total se pueden expresar también en términos del número áureo:

${\displaystyle A=3{\sqrt {15+20\varphi }}\cdot a^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {4+7\varphi }{2}}\cdot a^{3}}$

Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en sus centros, los 12 vértices de los tres rectángulos áureos coinciden exactamente con los vértices de un icosaedro, y con los centros de las caras de un dodecaedro.

El punto que los rectángulos tienen en común es el centro tanto del dodecaedro como del icosaedro.