Pentágono

Pentágono
	; Un pentágono regular
Características
Tipo	Polígono regular
Lados	5
Vértices	5
Grupo de simetría	, orden 2x5
Símbolo de Schläfli	{5} (pentágono regular)
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Polígono dual	Autodual
Área	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle A = \frac{{a^2 \sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{4}} ; (lado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): a )
Ángulo interior	108°
Propiedades
	Convexo, isogonal, cíclico

En geometría, se denomina pentágono (del griego πεντάγωνον, de πέντε pénte "cinco" y γωνία gōnía "ángulo") a un polígono de cinco lados y cinco vértices. La suma de los ángulos internos de un simple pentágono es 540°.

Un pentágono regular y sus ángulos principales

Un pentágono puede ser simple o auto-intersecantes. Un pentágono regular auto-intersecante (o pentágono estrella ) se llama Estrella pentagonal

Definición

Un pentágono regular es aquel que tiene todos sus lados iguales y sus ángulos internos congruentes.

Proposiciones

Cada ángulo interno mide 108 grados o Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle 3\pi/5} radianes.
- Es convexo.
Cada ángulo externo del pentágono regular mide 72°.
Tiene exactamente cinco diagonales.
Un pentágono regular se puede inscribir como circunscribir en sendas circunferencias circuncéntricas.
Las dos diagonales que parten de un vértice común determinan en el pentágono tres triángulos en sucesión, uno en la parte media : isósceles, cuyos lados iguales son las diagonales; dos triángulos iguales a los costados del anterior, son también isósceles por tener como lados iguales, dos de los lados del pentágono regular.
Lo interesante es que las dos diagonales trisecan al ángulo de cuyo vértice parten, pues cada ángulo mide 36°, cuya suma da el ángulo en el vértice de 108° .

Propiedades

Apotema

La apotema, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle a_p} , de un pentágono regular de lado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): L es[1]

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle a_p = \frac{L}{2}\cdot \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}}}

Área

El área de un pentágono regular de lado $L$ es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle A = \frac{5L^2}{4}\cot \frac{\pi}{5} = \frac {L^2}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} \simeq 1,72048 L^2}

O, en función el radio de la circunferencia circunscrita, $r$ ,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle A=\frac{5}{8}\cdot r^2 \cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}}}

O bien,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle A=\frac{5}{2}\cdot r^2 \cdot \sin{72^\circ}}

Y en función de la apotema, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle a_p} [1]

A=5a_{p}^{2}\cdot {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}

Perímetro

El perímetro de un pentágono regular lado $L$ es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle P = 5\cdot L }

O bien, en función de la apotema (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle a_p} ),[1]

P=10\cdot a_{p}\cdot {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}

Fórmula para calcular los ángulos interiores

La suma de los ángulos internos de un pentágono es de 540°.

La fórmula general para calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono regular (en el caso del pentágono n = 5) es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \sum {\alpha =}(n - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ}

El ángulo comprendido entre dos lados de un pentágono regular se puede calcular mediante la siguiente fórmula (en el pentágono, n = 5):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ}

Movimientos

El pentágono regular es una figura simétrica respecto del eje que contiene un apotema y su prolongación que pasa por el vértice opuesto a la base del apotema.
Hay cinco ejes de simetría
Cinco casos de rotación: la de 72°, 144°, 216°,288° y 360° [2]

Construcción de un pentágono regular

Secuencia gráfica usando regla y compás

Un pentágono regular es construible usando un compás y una regla, ya sea inscribiendo uno en un círculo dado o construyendo uno en un lado dado. Euclides describió este proceso en sus Elementos, alrededor del año 300 a. C.[3][4]

Se puede construir con regla y compás un pentágono regular, inscrito en una circunferencia (véase la figura), de la siguiente manera:

Trazamos dos rectas perpendiculares por el centro O de la circunferencia (PD y OQ en la figura). Determinamos el punto medio M del segmento OQ y trazamos la recta PM. Con centro en M, trazamos la circunferencia de radio MO. Denotemos con R y S las intersecciones de esta circunferencia con la recta PM. Las circunferencias de centro en P y radios PR y PS determinan los vértices del pentágono regular.

Uniendo los vértices del pentágono, se obtiene un pentagrama (estrella de 5 puntas) inscrito en él. En el centro quedará otro pentágono regular, con lo que el proceso de inscribir pentagramas en los sucesivos pentágonos que se vayan generando, matemáticamente, no tiene fin.

Al inscribir en un pentágono regular un pentagrama, se puede observar la razón áurea entre las longitudes de los segmentos resultantes.

Método de Richmond

Un método para construir un pentágono regular en un círculo dado es el descrito por Richmond[5] y discutido con más detalle en Polyhedra de Cromwell.[6]

El panel superior muestra la construcción utilizada en el método de Richmond para crear el lado del pentágono inscrito. El círculo que define el pentágono tiene radio unitario. Su centro está situado en el punto C y un punto medio M está marcado en la mitad de su radio. Este punto se une a la periferia verticalmente por encima del centro en el punto D. El ángulo CMD es bisecado, y la bisectriz interseca el eje vertical en el punto Q. Una recta horizontal que pasa por Q corta al círculo en el punto P, y la cuerda PD es el lado necesario del pentágono inscrito.

Para determinar la longitud de este lado, se representan debajo del círculo los dos triángulos rectángulos DCM y QCM. Utilizando el teorema de Pitágoras y dos lados, se halla la hipotenusa del triángulo mayor como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \scriptstyle \sqrt{5}/2} . El lado h del triángulo menor se halla entonces utilizando la fórmula del semiángulo:

\tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,

donde coseno y seno de ϕ del triángulo mayor son conocidos. El resultado es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle h = \frac{\sqrt 5 - 1}{4} \ .}

Si DP es realmente el lado de un pentágono regular, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle m \angle\mathrm{CDP} = 54^\circ} , por lo que DP = 2 cos(54°), QD = DP cos(54°) = 2cos²(54°), y CQ = 1 - 2cos²(54°), que es igual a -cos(108°) por la fórmula del doble ángulo del coseno. Este es el coseno de 72°, que es igual a $\left({\sqrt {5}}-1\right)/4$ como se desea.

Círculos de Carlyle

Método de los círculos de Carlyle

El círculo de Carlyle se inventó como método geométrico para hallar las raíces de una ecuación cuadrática.[7] Esta metodología conduce a un procedimiento para construir un pentágono regular. Los pasos son los siguientes:[8]

Dibujar un círculo en el que inscribir el pentágono y marca el punto central O.
Traza una línea horizontal por el centro del círculo. Marca la intersección izquierda con el círculo como punto B.
Traza una línea vertical que pase por el centro. Marca una intersección con el círculo como punto A.
Construye el punto M como el punto medio de O y B.
Dibuja un círculo centrado en M que pase por el punto A. Marca su intersección con la línea horizontal (dentro del círculo original) como el punto W y su intersección fuera del círculo como el punto V.
Dibuja un círculo de radio OA y centro W. Corta al círculo original en dos de los vértices del pentágono.
Dibuja un círculo de radio OA y centro V. Corta al círculo original en dos de los vértices del pentágono.
El quinto vértice es la intersección más a la derecha de la recta horizontal con el círculo original.

Los pasos 6-8 son equivalentes a la siguiente versión, mostrada en la animación:

6a. Construye el punto F como punto medio de O y W.

7a. Construye una recta vertical que pase por F. Ésta interseca al círculo original en dos de los vértices del pentágono. El tercer vértice es la intersección más a la derecha de la recta horizontal con la circunferencia original.

8a. Construye los otros dos vértices utilizando el compás y la longitud del vértice hallada en el paso 7a.

Método de Ibo

Construcción de pentágonos áureos a partir de vesica piscis con radio R=1 [9]

Con la técnica clásica de regla y compás, uno de los métodos más elegantes (sencillo, pocos pasos, limpio, rítmico, universal, revelador, estético) para construir pentágonos áureos es el descrito por el matemático y arquitecto Ibo Bonilla, donde a partir de la vesica piscis (dos círculos con su centro en la circunferencia del otro) se obtiene dos pentágonos cuyos lados están en proporción áurea.

El grafo vesica piscis tiene especial relevancia dado que se le considera la "madre" de la geometría sagrada y vincula con la estrella pitagórica y los emblemáticos números pi (π), Número áureo y raíz cuadrada de tres.[10]

Los pasos son los siguientes:

Dibujar vesica piscis y su círculo circunscrito.
Trazar los dos ejes centrales ortogonales, quedando definidos los segmentos de la anchura y altura de la vesica o almendra. La anchura es el lado del pentágono pequeño (Lp=1).
Trazar las diagonales que pasan por los extremos de la anchura (envergadura) y la intersección del eje vertical con el círculo circunscrito. La intersección inferior de las diagonales con el círculo circunscrito define el lado del pentágono grande (Lg=phi=1.6180...).
Con el compás y los radios Lp y Lg se marcan las intersecciones que indican los vértices de ambos pentágonos.[11]

Pentágonos equiláteros

Pentágono equilátero construido con cuatro círculos iguales dispuestos en cadena

Un pentágono equilátero es un polígono con cinco lados de igual longitud. Sin embargo, sus cinco ángulos internos pueden tomar una serie de valores, lo que le permite formar una familia de pentágonos. En cambio, el pentágono regular es único hasta la semejanza, porque es equilátero y es equiangular (sus cinco ángulos son iguales).

Pentágonos cíclicos

Un cíclico pentágono es aquel en el que una circunferencia, llamada circunscrita, pasa por los cinco vértices. El pentágono regular es un ejemplo de pentágono cíclico. El área de un pentágono cíclico, regular o no, puede expresarse como la cuarta parte de la raíz cuadrada de una de las raíces de una ecuación séptica cuyos coeficientes son funciones de los lados del pentágono.[12][13][14]

Existen pentágonos cíclicos con lados racionales y área racional, llamados pentágonos de Robbins. Se ha demostrado que las diagonales de un pentágono de Robbins deben ser todas racionales o todas irracionales, y se conjetura que todas las diagonales deben ser racionales.[15]

Pentágonos convexos generales

Para todos los pentágonos convexos, la suma de los cuadrados de las diagonales es menor que 3 veces la suma de los cuadrados de los lados.[16]^{: p.75, #1854}

Pentágonos en mosaicos

La mejor empaquetamiento conocido de pentágonos regulares de igual tamaño en un plano es una estructura de doble celosía que cubre el 92,131% del plano.

Un pentágono regular no puede aparecer en ningún mosaico de polígonos regulares. En primer lugar, para demostrar que un pentágono no puede formar un teselado regular (uno en el que todas las caras son congruentes, lo que requiere que todos los polígonos sean pentágonos), observe que 360° / 108° = 3¹⁄₃ (donde 108° es el ángulo interior), que no es un número entero; por tanto, no existe un número entero de pentágonos que compartan un único vértice y no dejen huecos entre ellos. Más difícil es demostrar que un pentágono no puede estar en ningún mosaico de borde a borde formado por polígonos regulares:

La máxima densidad de empaquetamiento conocida de un pentágono regular es de aproximadamente 0,921, lograda por el doble enrejado de empaquetamiento mostrado. En un preprint publicado en 2016, Thomas Hales y Wöden Kusner anunciaron una prueba de que el empaquetamiento de doble celosía del pentágono regular (al que llaman empaquetamiento "pentagonal ice-ray", y que remontan al trabajo de artesanos chinos en 1900) tiene la densidad óptima entre todos los empaquetamientos de pentágonos regulares en el plano.[17], su prueba aún no ha sido arbitrada y publicada.

No existen combinaciones de polígonos regulares con 4 o más vértices que contengan un pentágono. Para combinaciones con 3, si 3 polígonos se encuentran en un vértice y uno tiene un número impar de lados, los otros 2 deben ser congruentes. La razón de esto es que los polígonos que tocan las aristas del pentágono deben alternarse alrededor del pentágono, lo que es imposible debido al número impar de lados del pentágono. Para el pentágono, esto resulta en un polígono cuyos ángulos son todos (360 - 108) / 2 = 126°. Para encontrar el número de lados de este polígono tiene, el resultado es 360 / (180 - 126) = 6²⁄₃, que no es un número entero. Por lo tanto, un pentágono no puede aparecer en ningún mosaico formado por polígonos regulares.

Hay 15 clases de pentágonos que pueden alicatar monohedralmente el plano. Ninguno de los pentágonos tiene simetría en general, aunque algunos tienen casos especiales con simetría especular.

15 teselas pentagonales monoedricas
1	2	3	4	5

6	7	8	9	10

11	12	13	14	15

Relaciones geométricas del pentágono regular

Relación con el número áureo

Pentagrama y pentágono

Veamos que la razón entre un segmento que una dos de sus vértices no consecutivos y uno de los lados del pentágono es la razón aúrea o número áureo, por ejemplo que

CE=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)CD

Por simetría, los segmentos CE y CA son iguales. Observamos que los triángulos ANF y CMF son semejantes. De la semejanza de sus lados tenemos que

{\frac {MC}{AN}}={\frac {FC}{AF}}

Observemos que MC es la mitad de CE y que AN es la mitad de AB. Por otra parte, como el triángulo FCD es isósceles, tenemos que FC = CD. Así podemos escribir AF = AC - FC = CE - CD. Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \frac{CE}{CD}=\frac{CD}{CE-CD}= \frac{1}{CE/CD - 1}}

Sustituyendo CE/CD por $\varphi$ tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \varphi = \frac{1}{\varphi-1}\qquad\,(1)}

en otras palabras $\varphi -1={\frac {1}{\varphi }}$ . Esta ecuación describe la razón dorada. $\varphi$ es el único número positivo que cuando le restamos la unidad, obtenemos su inverso.

Algunas consideraciones sobre triángulos

Consideremos a un pentágono (regular) y la circunferencia circunscrita a dicho pentágono. Tracemos la perpendicular por el centro de la circunferencia al lado DA del pentágono y sea M la intersección de esta perpendicular con la circunferencia el ángulo AOB mide 360°/5=72° y el ángulo AOM es su mitad, es decir 36°. El ángulo MOB, suma de estos dos vale 108° y como el triángulo AOB es isósceles tenemos que

La razón entre el segmento MB y el radio OM de la circunferencia es la razón dorada
$\angle BMO=(180^{\circ }-108^{\circ })/2=72^{\circ }/2=36^{\circ }$

Así, sea P la intersección de las rectas OA y MB. El triángulo PMO es isósceles, y la razón entre el radio OM y el segmento PM es la razón dorada. Finalmente, el triángulo OBP también es isósceles, con lo que PB = OB ( =OM). Tenemos :Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \frac{PM}{OM} = \frac{1}{\varphi} = \frac{MB-PB}{OM} = \varphi - 1 }

Lo anterior se puede interpretar como una demostración geométrica de la ecuación (1).

Véase también

Referencias

Sapiña, R. «Calculadora del área y perímetro del pentágono regular». Problemas y ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 19 de junio de 2020.
Tema análogo en Álgebra moderna de Birkhoff y Mac Lane.
George Edward Martin (1998). Springer, ed. Construcciones geométricas (en inglés). p. 6. ISBN 0-387-98276-0.
Euklid's Elements of Geometry, Book 4, Proposition 11 (Richard Fitzpatrick, trad.) (en inglés). 2008. p. 119. ISBN 978-0-6151-7984-1.
Richmond, Herbert W. (1893). «A Construction for a Regular Polygon of Seventeen Sides». The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 26: 206-207.
Peter R. Cromwell (22 de julio de 1999). Polyhedra. p. 63. ISBN 0-521-66405-5. Parámetro desconocido |title-link= ignorado (ayuda)
Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd edición). CRC Press. p. 329. ISBN 1-58488-347-2.
DeTemple, Duane W. (Feb 1991). «Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions». The American Mathematical Monthly 98 (2): 97-108. JSTOR 2323939. doi:10.2307/2323939. Archivado desde el original el 21 de diciembre de 2015.
Ibo Bonilla: Relación áurea entre pentágono y hexágono.
Ibo Bonilla: Arte y vulva, vesica piscis y geometría sagrada
Ibo Bonilla: Relación áurea entre pentágono y hexágono.
Weisstein, Eric W. "Cyclic Pentagon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
Robbins, D. P. (1994). «Areas of Polygons Inscribed in a Circle». Discrete and Computational Geometry 12 (2): 223-236. doi:10.1007/bf02574377.
Robbins, D. P. (1995). «Areas of Polygons Inscribed in a Circle». The American Mathematical Monthly 102 (6): 523-530. JSTOR 2974766. doi:10.2307/2974766.
- Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A. (2008), «Cyclic polygons with rational sides and area», Journal of Number Theory 128 (1): 17-48, MR 2382768, doi:10.1016/j.jnt.2007.05.005..
Desigualdades propuestas en "Crux Mathematicorum", .
Hales, Thomas; Kusner, Wöden (September 2016), Empaquetamientos de pentágonos regulares en el plano, arXiv:1602.07220.

Enlaces externos

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Datos: Q127840
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[pye-1] Sapiña, R. «Calculadora del área y perímetro del pentágono regular». Problemas y ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 19 de junio de 2020.

[2] Tema análogo en Álgebra moderna de Birkhoff y Mac Lane.

[Martin-3] George Edward Martin (1998). Springer, ed. Construcciones geométricas (en inglés). p. 6. ISBN 0-387-98276-0.

[Fitzpatrick-4] Euklid's Elements of Geometry, Book 4, Proposition 11 (Richard Fitzpatrick, trad.) (en inglés). 2008. p. 119. ISBN 978-0-6151-7984-1.

[Richmond-5] Richmond, Herbert W. (1893). «A Construction for a Regular Polygon of Seventeen Sides». The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 26: 206-207.

[6] Peter R. Cromwell (22 de julio de 1999). Polyhedra. p. 63. ISBN 0-521-66405-5. Parámetro desconocido |title-link= ignorado (ayuda)

[Weisstein-7] Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd edición). CRC Press. p. 329. ISBN 1-58488-347-2.

[DeTemple-8] DeTemple, Duane W. (Feb 1991). «Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions». The American Mathematical Monthly 98 (2): 97-108. JSTOR 2323939. doi:10.2307/2323939. Archivado desde el original el 21 de diciembre de 2015.

[9] Ibo Bonilla: Relación áurea entre pentágono y hexágono.

[10] Ibo Bonilla: Arte y vulva, vesica piscis y geometría sagrada

[11] Ibo Bonilla: Relación áurea entre pentágono y hexágono.

[12] Weisstein, Eric W. "Cyclic Pentagon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

[13] Robbins, D. P. (1994). «Areas of Polygons Inscribed in a Circle». Discrete and Computational Geometry 12 (2): 223-236. doi:10.1007/bf02574377.

[14] Robbins, D. P. (1995). «Areas of Polygons Inscribed in a Circle». The American Mathematical Monthly 102 (6): 523-530. JSTOR 2974766. doi:10.2307/2974766.

[15] Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A. (2008), «Cyclic polygons with rational sides and area», Journal of Number Theory 128 (1): 17-48, MR 2382768, doi:10.1016/j.jnt.2007.05.005..

[16] Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A. (2008), «Cyclic polygons with rational sides and area», Journal of Number Theory 128 (1): 17-48, MR 2382768, doi:10.1016/j.jnt.2007.05.005..

[Crux-16] Desigualdades propuestas en "Crux Mathematicorum", .

[17] Hales, Thomas; Kusner, Wöden (September 2016), Empaquetamientos de pentágonos regulares en el plano, arXiv:1602.07220.