Estrella pentagonal

El icono distintivo de los pitagóricos fue una estrella regular de cinco puntas. Un pentágono regular, estrellado o convexo, conlleva virtualmente un conjunto de relaciones geométricas, que descubiertas por los pitagóricos, concluyeron en el hallazgo de una proporción distinguida. Siglos más tarde, Luca Pacioli denominó a esta proporción como «proporción divina»:[2] En este tema aparece también el «número áureo».

En el cristianismo el pentagrama geométrico con el vértice meridiano apuntando hacia arriba significa las cinco llagas de Cristo, y se usó ocasionalmente en estelas.

${\displaystyle \operatorname {sen} {\frac {\pi }{10}}=\operatorname {sen} 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}=(\phi -1)/2=1/(2\phi )}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}{4}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}{5}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$

${\displaystyle \operatorname {sen} {\frac {\pi }{5}}=\operatorname {sen} 36^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}{4}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}=\phi /2}$

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{5}}=\cot 36^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}{5}}}$

Como resultado, en un triángulo isósceles con uno o dos ángulos de 36°, el más largo de los lados es φ veces mayor que el más corto, tanto en los triángulos agudos como en los obtusos.