Número primo de Wieferich

Un número de Mersenne es definido como ${\displaystyle M_{q}=2^{q}-1}$ (donde ${\displaystyle q}$ es primo) y por el pequeño teorema de Fermat se sabe que ${\displaystyle M_{p-1}=2^{p-1}-1}$ es siempre divisible por un número primo ${\displaystyle p}$. Aún más, podría ser que ${\displaystyle q}$ fuera un factor primo de ${\displaystyle p-1}$, incluso ${\displaystyle M_{q}<M_{p-1}}$ es divisible por ${\displaystyle p}$.

De la definición de un número ${\displaystyle w}$ primo de Wieferich, tenemos que ${\displaystyle 2^{w-1}-1}$ es divisible entre ${\displaystyle w^{2}}$ y no solamente entre ${\displaystyle w}$. ${\displaystyle q}$ podría ser un factor de ${\displaystyle w-1}$, y ${\displaystyle M_{q}}$ todavía divisible entre ${\displaystyle w}$; por lo que surge la pregunta de si existe un número de Mersenne ${\displaystyle M_{q}}$ que sea también divisible entre ${\displaystyle w^{2}}$, o incluso ser él mismo un primo de Wieferich.

Puede demostrarse que

Si ${\displaystyle w^{2}}$ divide a ${\displaystyle 2^{w-1}-1}$, y ${\displaystyle w}$ divide a ${\displaystyle M_{q}=2^{q}-1}$, donde ${\displaystyle q}$ es un divisor primo de ${\displaystyle w-1}$

Entonces también ${\displaystyle w^{2}}$ debe dividir a ${\displaystyle M_{q}}$; por lo que ${\displaystyle M_{q}}$ contendría un cuadrado (y no podría ser primo).

Los dos primos de Wieferich, ${\displaystyle w=1093}$ y ${\displaystyle w=3511}$ no satisfacen la condición de divisibilidad por un número de Mersenne ${\displaystyle M_{q}}$ con exponente primo ${\displaystyle q}$; de hecho se conjetura que ningún primo de Wieferich es un factor de un número de Mersenne. Aunque no se han encontrado contraejemplos, se desconoce si la afirmación es cierta o no, por lo que surge la siguiente pregunta:

¿Son todos los números de Mersenne no cuadrados?

Ya que cualquier ${\displaystyle M_{q}}$ conteniendo un primo de Wieferich ${\displaystyle w}$ debe contener también ${\displaystyle w^{2}}$, se sigue inmediatamente que no sería primo. Entonces,

Un primo de Mersenne no puede ser un primo de Wieferich.

Para una generalización ciclotómica de la propiedad de los primos de Wieferich, ${\displaystyle (n^{p}-1)/(n-1)}$ divisible entre ${\displaystyle w^{2}}$ existen soluciones como

${\displaystyle (3^{5}-1)/(3-1)=11^{2}}$

e incluso con exponentes mayores que dos, como en

${\displaystyle (19^{6}-1)/(19-1)}$ divisible entre ${\displaystyle 7^{3}}$.

• Si ${\displaystyle w}$ es un primo de Wieferich, entonces ${\displaystyle 2^{w^{2}}=2{\pmod {w^{2}}}}$.