Número cardinal

Existe una relación entre el cardinal de un conjunto y el conjunto de partes o conjunto potencia:

${\displaystyle |A|=n\Rightarrow |P(A)|=2^{n}}$

Donde ${\displaystyle |P(A)|}$ es el cardinal del conjunto de partes de ${\displaystyle A}$.

Los números cardinales de algunos conjuntos se representan con símbolos especiales:

• El cardinal de los números reales: ${\displaystyle {\mbox{card}}(\mathbb {R} )=c}$.
• El cardinal de los números naturales: ${\displaystyle {\mbox{card}}(\mathbb {N} )=\aleph _{0}}$ (Alef-0).
• El cardinal inmediatamente superior a ${\displaystyle \aleph _{0}}$: ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Puede comprobarse que los tres cardinales anteriores cumplen ${\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}\leq c}$. La hipótesis del continuo afirma que de hecho ${\displaystyle c=\aleph _{1}}$. Gödel probó en 1938 que esta hipótesis es consistente con los axiomas ZF, y por tanto puede ser tomado como un axioma nuevo para la teoría de conjuntos. Sin embargo, en 1963 Paul Cohen probó que la negación de la hipótesis del continuo también es consistente con los axiomas ZF, lo cual prueba que dicha hipótesis es totalmente independiente de los axiomas ZF. Es decir, pueden construirse tanto "teorías de conjuntos cantorianas" en las que la hipótesis del continuo es una afirmación cierta, como "teorías de conjuntos no cantorianas" en las que la hipótesis del continuo sea falsa. Esta situación es similar a la de las geometrías no euclídeas.

En teoría de conjuntos se emplean definiciones un poco más abstractas de cardinal, que requieren de la definición de los ordinales. En ese contexto se define la cardinalidad de un ordinal como:

${\displaystyle |\alpha |=\min\{\beta \in \mathrm {Ord} |\ \exists f:(f:\alpha \to \beta )\land (f\ \mathrm {biyectiva} )\}}$

Como cualquier conjunto de ordinales es siempre un conjunto bien ordenado, siempre existirá un mínimo con esa definición. Un cardinal es un ordinal que cumple que:

${\displaystyle |\alpha |=\alpha }$

Todos los cardinales forman una clase dentro de los ordinales. De hecho, en cierta manera la clase de todos los cardinales es una clase de "ordinales iniciales" en el sentido de que un cardinal es un ordinal tal que no existe ningún otro ordinal del mismo tamaño. En particular, todos los ordinales regulares son cardinales. También es cierto que todos los caridnales son ordinales límites, aunque sólo los ordinales límite regulares son cardinales (existen más ordinales límite que cardinales).

El cardinal conjunto finito A = {2,4,5} es 3. Resulta trivial demostrar que esta función es inyectiva: f: {2,4,5} → {1,2,3}:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&{\text{si}}&x=2\\2,&{\text{si}}&x=4\\3,&{\text{si}}&x=5\end{cases}}}$

El cardinal del conjunto infinito P = {x ∈ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ | x es par } formado por los números pares es ${\displaystyle \aleph _{0}}$. Para demostrarlo basta con definir las funciones:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}f:&P&\longrightarrow &\mathbb {N} \\&x&\mapsto &y=f(x)={\frac {x}{2}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{rccl}g:&\mathbb {N} &\longrightarrow &P\\&x&\mapsto &y=g(x)=2x\end{array}}}$

Demostrando la inyectividad de ambas, concluimos que f es biyectiva. La cardinalidad del conjunto es ${\displaystyle \aleph _{0}}$. Esto concluye la demostración. Aunque este resultado puede parecer contrario a la intuición, ya que se puede pensar que hay más naturales que pares (porque, por ejemplo, el 1 es natural y no está incluido en los pares), demostramos que estos conjuntos son equipotentes.

El conjunto de pares ordenados (o, más generalmente, de n-tuplas) de números naturales tiene un cardinal ${\displaystyle \aleph _{0}}$. Esto se puede probar numerando los pares de números naturales anti-diagonalmente. Otro modo de demostrar es que ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ tiene el mismo cardinal que un subconjunto infinito de los naturales:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}g:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&x,y&\mapsto &z=g(x,y)=3^{x}\cdot 2^{y}\end{array}}}$

Al ser 3 y 2 números primos, para cada par x, y obtendremos un número distinto. Entonces g es inyectiva y ${\displaystyle \operatorname {card} (\mathbb {N} \times \mathbb {N} )\leq \operatorname {card} (\mathbb {N} )}$

El conjunto de los Números racionales ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ tiene un cardinal igual a ${\displaystyle \aleph _{0}}$. Este resultado desafía un poco la intuición porque de un lado el conjunto de los racionales es "denso" en ${\displaystyle \mathbb {R} }$, que tiene cardinal ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$. De hecho, estudiando un poco la topología de los números reales, tenemos que entre dos números reales existe siempre un número racional, y entre dos racionales siempre hay un real irracional. Eso podría hacer pensar que ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ y ${\displaystyle \mathbb {R} }$ son comparables según el número de elementos, pero resulta que ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ solo tiene tantos elementos como ${\displaystyle \mathbb {N} }$, siendo el número de elementos de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ un infinito muy superior al número de elementos de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Para comprobar que en efecto el conjunto ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ es numerable y por lo tanto tiene el mismo cardinal que los naturales, podemos ver que existe una función inyectiva ${\displaystyle i_{\mathbb {Q} }}$. Si un número racional q es igual a r/s, siendo estos dos números primos relativos entre sí, entonces definimos:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}i_{\mathbb {Q} }:&\mathbb {Q} &\longrightarrow &\mathbb {N} \times \mathbb {N} \\&q&\mapsto &i_{\mathbb {Q} }(q)=(r,s)\quad [\operatorname {mcd} (r,s)=1]\end{array}}}$

Esto demuestra que ${\displaystyle {\mbox{card}}(\mathbb {Q} )\leq {\mbox{card}}(\mathbb {N} \times \mathbb {N} )}$, y como ${\displaystyle {\mbox{card}}(\mathbb {N} \times \mathbb {N} )={\mbox{card}}(\mathbb {N} )}$ y los naturales son asimilables a un conjunto de los racionales, tenemos la cadena de desigualdades:

${\displaystyle {\mbox{card}}(\mathbb {N} )\leq {\mbox{card}}(\mathbb {Q} )\leq {\mbox{card}}(\mathbb {N} \times \mathbb {N} )\leq {\mbox{card}}(\mathbb {N} )}$

Por lo tanto:

${\displaystyle \operatorname {card} (\mathbb {Q} )=\operatorname {card} (\mathbb {N} )}$