Operador de clase de traza

Sea ${\displaystyle A}$ un operador de clase traza definido en espacio de Hilbert separable ${\displaystyle H}$ y sea ${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N},}$ ${\displaystyle N\leq \infty }$ el conjunto de autovalores de ${\displaystyle A}$. Asúmase que ${\displaystyle \lambda _{n}(A)}$ se enumeran contabilizando multiplicidades algebraicas, entonces el teorema de Lidskii (llamado así por Victor Borisovich Lidskii) afirma que:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}(A)=\operatorname {tr} (A).}$

Nótese que la serie a la izquierda es absolutamente convergente debido a la desigualdad de Weyl:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}|\lambda _{n}(A)|\leq \sum _{m=1}^{M}s_{m}(A)}$

entre los autovalores

${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N}}$

y el valor singular:

${\displaystyle \{s_{m}(A)\}_{m=1}^{M}}$

de un operador compacto ${\displaystyle A}$. Véase por ejemplo Simon (2005).[1]

Uno puede obtener ciertas clases de operadores acotados como el análogo no conmutativo de un espacio de sucesiones clásico. En este caso los operadores de clase traza son el análogo no conmutativo de los espacios ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {R} )}$. De hecho, aplicando el teorema espectral, todo operador normal de clase traza sobre un espacio de Hilbert separable se puede realizar como una sucesión en ${\displaystyle \ell ^{1}}$. De la misma manera:

• Los operadores acotados son el análogo no conmuativo de ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {R} )}$.
• Los operadores compactos son el análogo no comutativo de ${\displaystyle c_{0}(\mathbb {R} )}$ (sucesiones que convergen a cero).
• Los operadores de Hilbert-Schmidt se corresponden con ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {R} )}$.
• Los operadorde de rango finito se corresponden con ${\displaystyle \ell _{0}(\mathbb {R} )}$.

Hasta cierto punto las relaciones entre las diferentes clases de operadores son similares a las relaciones existentes entre sus contrapartes conmutativas.

Téngase en cuenta que todo operador compacto T definido en un espacio de Hilbert puede escribirse como:

${\displaystyle \forall h\in H,\;Th=\sum _{i=1}\alpha _{i}\langle h,v_{i}\rangle u_{i}\quad {\mbox{where}}\quad \alpha _{i}\geq 0\quad {\mbox{and}}\quad \alpha _{i}\rightarrow 0}$

para dos bases ortonormales {u_i} y {v_i}, formalizando lo anterior de manera más precisa:

• T es de clase de traza si la serie sumada ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{i}\alpha _{i}}$ es convergente.
• T es del tipo Hilbert-Schmidt si ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{i}\alpha _{i}^{2}}$ es convergente.
• T es de rango finito si ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{i}\alpha _{i}^{2}}$ sólo tiene un número finito de sumandos diferentes de cero.

La caracterización anterior permite establecer fácilmente algunos hechos que relacionan esas clases de operadores. Por ejemplo, se tiene la siguiente cadena de inclusiones (si el espacio de Hilbert es de dimensión infinita son inclusiones propias): {rango finito} ⊂ {clase de traza} ⊂ {tipo Hilbert-Schmidt} ⊂ {compacto}.

Los operadores de clase de traza forman un espacio vectorial normado con la norma:

${\displaystyle \|T\|_{1}=\mathrm {tr} [(T\circ T)^{1/2}]=\sum _{i}\alpha _{i}}$

Los operadores de Hilbert-Schmidt admiten la norma vectorial:

${\displaystyle \|T\|_{2}=(\mathrm {tr} [T\circ T])^{1/2}=\left(\sum _{i}\alpha _{i}^{2}\right)^{1/2}}$

Los operadores acotados admiten también la norma:

${\displaystyle \|T\|_{\infty }=\sup _{i}\alpha _{i}}$

Estas tres normas satisfacen la siguiente cadena de desigualdades:

${\displaystyle \|T\|_{\infty }\leq \|T\|_{2}\leq \|T\|_{1}}$

Para un operador de clase de traza.

Otro hecho interesante es que los operadores de rango finito constituyen un subconjunto denso tanto en el conjunto de operadores de Hilbert-Schmidt como en el conjunto de los operadores de clase traza (con topología definida por las normas anteriores).

El espacio dual topológico del espacio vectorial de sucesiones de números reales convergentes ${\displaystyle c_{0}(\mathbb {R} )}$ es el espacio de sucesiones tales que la serie asociada es absolutamente convergente ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {R} )}$. De manera similar el espacio dual de los operadores compactos ${\displaystyle K({\mathcal {H}})^{*}}$ sobre un espacio de Hibert ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ coincide con el espacio vectorial de los operadores de clase traza. El argumento, que esbozamos a continuación es reminiscente del correspondiente argumento de espacios vectoriales de sucesiones. Sea ${\displaystyle f\in K({\mathcal {H}})^{*}}$ y se asocia a f con el operador T_f definido por:

${\displaystyle \langle T_{f}x,y\rangle =f(S_{x,y})}$

donde S_x,y es el operador de rango 1 dado por:

${\displaystyle S_{x,y}(h)=\langle h,y\rangle x.}$

Esta identificación funciona porque los operadores de rango finito forman un conjunto denso en ${\displaystyle K({\mathcal {H}})}$. En el caso de que T_f sea un operador positivo, se tiene para cualquier base ortonormal u_i, one has

${\displaystyle \sum _{i}\langle T_{f}u_{i},u_{i}\rangle =f(I)\leq \|f\|,}$

donde I es el operador identidad:

${\displaystyle I=\sum _{i}\langle \cdot ,u_{i}\rangle u_{i}.}$

Aunque esto implica que T_f es de clase de traza. Además puede probarse mediante un argumento basado en operadores de rango finito que ${\displaystyle \scriptstyle \|T_{f}\|_{1}=\|f\|}$ y, por tanto, que ${\displaystyle K({\mathcal {H}})^{*}}$ es isométrico a C₁.

• Dixmier, J. (1969). Les Algebres d'Operateurs dans l'Espace Hilbertien. Gauthier-Villars.