Operador integral

En matemáticas, un operador integral (también operador núcleo u operador kernel) es un operador lineal definido usando una integral paramétrica en algunos espacios funcionales. La imagen de una función generada por tal operador es por lo tanto otra función, cuyo dominio puede ser muy diferente.

Dichos operadores constituyen objetos fundamentales en el análisis funcional, donde permiten en particular transformar una ecuación para obtener una expresión a priori más fácil de resolver. Los primeros ejemplos son la convolución[1] y las transformadas de Fourier[2] o de Laplace, de ahí el nombre también empleado en ocasiones de transformación integral.

Definición

La forma general de un operador integral viene dada por la siguiente expresión:

S(f)(t)=\int _{A}{f(x)K(x,t)\,\mathrm {d} \mu (x)}

en la que la función $K$ se denomina el núcleo del operador.

En muchos ejemplos comunes, el dominio de integración $A$ es un intervalo real y la medida asociada es la medida de Lebesgue.[3]

Formas de núcleo especiales

Se dice que un núcleo $K$ es separable o degenerado si se puede escribir en la forma $K(x,t)=\sum _{i=1}^{p}a_{i}(x)b_{i}(t)$ con funciones $(a_{i})$ independientes.
Se dice que un núcleo de valor complejo $K$ es simétrico o hermítico si verifica que
$\forall x,t,\ K(x,t)={\overline {K(t,x)}}.$
Un núcleo o kernel $K$ se llama núcleo de convolución si tiene la forma

K(x,t)=k(x-t).

Se dice que un núcleo $K$ es regular si satisface que

\iint K(x,t)\mathrm {d} x\mathrm {d} t<+\infty .

Si un núcleo $K$ tiene la forma, para una función $h$ acotada, $K(x,t)={\frac {h(x,t)}{|x-t|^{m}}},\ m\in \left]0,1\right[,$ , entonces se dice que la ecuación integral es débilmente singular. Para $h$ constante, se genera la ecuación integral de Abel.
Un núcleo $K$ se denomina núcleo de Cauchy si tiene la forma $K(x,t)={\frac {h(x,t)}{x-t}}$ , que aparece en la definición de valor principal de Cauchy.

Aplicaciones

Los operadores integrales están involucrados en los fenómenos de difusión donde clásicamente se presentan ecuaciones integrales. La existencia y la unicidad de las soluciones encuentran solución con la alternativa de Fredholm cuando esta última es aplicable, es decir cuando el operador es compacto.

En un gran número de casos en la práctica, ya existe un estudio completo del análisis espectral del operador.

Ocurre que tal operador admite un inverso multiplicativo que también es un operador integral. El núcleo de este último se denomina núcleo inverso.

Referencias

Robert Dautray, Jacques-Louis Lions (1999). Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology: Volume 4 Integral Equations and Numerical Methods. Springer Science & Business Media. pp. 371 de 493. ISBN 9783540661009. Consultado el 16 de octubre de 2022.
François Trèves (1980). Introduction to Pseudodifferential and Fourier Integral Operators Volume 2: Fourier Integral Operators. Springer Science & Business Media. pp. 332 de 649. ISBN 9780306404047. Consultado el 16 de octubre de 2022.
Topics in Operator Theory: Volume 1: Operators, Matrices and Analytic functions. Springer Science & Business Media. 2011. pp. 323 de 600. ISBN 9783034601580. Consultado el 16 de octubre de 2022.

Véase también

Núcleo de Szegő
Operador diferencial

Enlaces externos

Pdf Gilles Leborgne, “Núcleos integrales, espacio de Hilbert con núcleo reproductivo: introducción”, notas del curso ISIMA, 9 de marzo de 2016 (consultado de 25 de julio de 2016)

Datos: Q43230999

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[RDJL-1] Robert Dautray, Jacques-Louis Lions (1999). Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology: Volume 4 Integral Equations and Numerical Methods. Springer Science & Business Media. pp. 371 de 493. ISBN 9783540661009. Consultado el 16 de octubre de 2022.

[FT-2] François Trèves (1980). Introduction to Pseudodifferential and Fourier Integral Operators Volume 2: Fourier Integral Operators. Springer Science & Business Media. pp. 332 de 649. ISBN 9780306404047. Consultado el 16 de octubre de 2022.

[TOT-3] Topics in Operator Theory: Volume 1: Operators, Matrices and Analytic functions. Springer Science & Business Media. 2011. pp. 323 de 600. ISBN 9783034601580. Consultado el 16 de octubre de 2022.