Permutación

Dado un conjunto finito ${\displaystyle A\,\!}$ de ${\displaystyle n\,\!}$ elementos, el número de todas sus permutaciones es igual a factorial de n:
${\displaystyle n!=n(n-1)(n-2)\cdots 1\,\!}$.

Demostración: Dado que hay ${\displaystyle n\,\!}$ formas de escoger el primer elemento y, una vez escogido este, solo tenemos ${\displaystyle (n-1)\,\!}$ formas de escoger el segundo elemento, y así sucesivamente, vemos que cuando llegamos al elemento k-ésimo solo tenemos ${\displaystyle [n-(k-1)]\,\!}$ posibles elementos para escoger, lo que nos lleva a que tenemos ${\displaystyle n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\,\!}$ formas de ordenar el conjunto, justamente lo que enunciamos anteriormente.

Ejemplo: sea el conjunto A={1,2,3} en este caso hay 6 permutaciones, en forma compacta: 123, 132, 213, 231, 312, 321. En álgebra, para estudiar los grupos simétricos se presentan entre paréntesis y en dos filas, en la primera siempre aparece 1 2 3.

Otro ejemplo de lo mismo: si se va a formar un comité que involucra presidente, tesorero y secretario, habiendo tres candidatos a, b, c ; cuando se elige por sorteo los cargos sucesivamente, hay seis posibilidades u ordenaciones: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Representación gráfica de la permutación ${\displaystyle \sigma }$ que revela su estructura compuesta por 2 ciclos de longitud 4.

La primera forma de escribir una permutación ${\displaystyle \sigma }$, aunque no es la más compacta, consiste en escribirla en forma de matriz de dos filas, situando en la primera los elementos ordenados del dominio 1, 2, 3,...,n, y en la segunda fila las imágenes correspondientes a los elementos reordenados ${\displaystyle \sigma (1),\,\sigma (2),\,\sigma (3),\,\dots ,\,\sigma (n).}$

Por ejemplo, dado el conjunto ordenado ${\displaystyle \{1,...,8\}}$ podemos expresar una permutación ${\displaystyle \sigma }$ sobre éste mediante una matriz de correspondencias:

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\3&4&5&7&6&1&8&2\end{pmatrix}}}$

Por ser biyectiva por definición, podemos encontrar una aplicación inversa ${\displaystyle \sigma ^{-1}}$ de forma que su composición genera la aplicación identidad. Para ello, en primer lugar intercambiamos las filas y finalmente reordenamos las columnas de modo que los elementos del dominio queden ordenados de forma natural:

${\displaystyle \sigma ^{-1}}$ ${\displaystyle ={\begin{pmatrix}3&4&5&7&6&1&8&2\\1&2&3&4&5&6&7&8\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\6&8&1&2&3&5&4&7\end{pmatrix}}}$

Existe otra notación más compacta, llamada notación de ciclos. Un ciclo es una permutación que intercambia cíclicamente elementos y fija los restantes. Esta notación revela mejor la estructura interna de la permutación. Para ello:

1. Empezamos con cualquier elemento. Lo escribimos, a su derecha escribimos su imagen, a la derecha de esta, la imagen de su imagen, y seguimos así hasta que se complete un ciclo.
2. Luego cogemos cualquier elemento no contenido en el primer ciclo, volvemos a escribir su imagen a su derecha, y continuamos hasta completar el segundo ciclo.
3. El proceso continúa hasta que la permutación entera ha quedado descrita como producto de ciclos disjuntos.

Siguiendo con el mismo ejemplo de antes, en notación de ciclos, ${\displaystyle \sigma }$ quedaría expresada como composición de dos ciclos:

${\displaystyle \sigma =(1356)(2478)}$.

Un ciclo de longitud k es llamado k-ciclo.

La descomposición realizada por el procedimiento anterior no es única en principio, pues podrían haberse obtenido cualquiera de estos resultados equivalentes:

${\displaystyle \sigma =(1356)(2478)=(2478)(1356)=(8247)(6135)=(3561)(4782)=(5613)(7824)=(6135)(8247)}$

La descomposición canónica de una permutación como producto de ciclos se obtiene en dos pasos (según Miklós Bóna):

• Dentro de cada ciclo, se escribe primero el elemento más grande;
• A continuación, ordenamos los ciclos en orden creciente en base al primer elemento de cada ciclo.

Frecuentemente, suelen omitirse los ciclos de longitud 1. Así la permutación (1 3)(2)(4 5) se escribe simplemente como (3 1)(5 4) en forma canónica.

Richard P. Stanley llama «representación estándar» a esta forma[4], mientras que Martin Aigner usa el término «forma estándar»[5]. Sergey Kitaev también usa el término «forma estándar» pero invierte los criterios: en cada ciclo se lista primero el elemento más pequeño y luego los ciclos se ordenan de mayor a menor según el primer elemento[6].

Como curiosidad, la forma canónica permite eliminar los paréntesis sin que haya pérdida de información, o bien recuperar la posición de los paréntesis a partir de un listado de elementos sin ellos. Por ejemplo, usando los criterios de Miklós Bóna, en una forma canónica que haya «perdido» los paréntesis, como 3 1 2 5 4 6, el primer ciclo estará formado por el primer elemento de la lista, 3, y los siguientes que sean menores que él: (3 1 2). El siguiente elemento mayor que el primero (5 > 3) inicia un nuevo ciclo, junto con los siguientes menores que él, y así sucesivamente. Por lo tanto, la forma canónica ha de ser (3 1 2) (5 4) (6).

Permutaciones de 4 elementos

De izquierda a derecha aparecen las permutaciones en forma matricial, en forma de vector y como producto de transposiciones. Los números a la derecha indican la cantidad de transposiciones con que se puede escribir cada permutación (este número no es único, pero sí su paridad). Las permutaciones impares están marcadas con verde o naranja.

Una transposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Dicho de otro modo, es un ciclo de longitud 2. Una propiedad interesante es que cualquier permutación se puede construir como una composición de transposiciones, aunque no de manera única. Dadas dos descomposiciones en transposiciones de una permutación se cumple que ambas usaran un número par o ambas usarán un número impar, eso permite definir de manera unívoca la signatura de una permutación.

Las transposiciones permiten descomponer una permutación cualquiera de una forma diferente a la descomposición en ciclos. En particular, las transposiciones que aparezcan no tendrán que ser disjuntas: Por ejemplo, el ciclo (1 2 3 4) = (1 2) (2 3) (3 4).

Nótese la diferencia entre permutación, ciclo y transposición, dado lo similar de la notación, la expresión anterior es equivalente a:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&1&3&4\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&3&2&4\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&2&4&3\end{pmatrix}}}$

La composición señalada como: ${\displaystyle \circ }$ se opera de derecha a izquierda y no es conmutativa.

Aquí el orden de aplicación es importante: en primer lugar (3 4) deja el 4 en su sitio definitivo y el 3 descolocado. Después (2 3) deja en su sitio definitivo el 3 y el 2 descolocado, que quedará recolocado definitivamente por (1 2).

Para ver que cualquier permutación se descompone como producto de transposiciones bastará ver que todo ciclo lo hace. La descomposición no es única. Por ejemplo:

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})=}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2})(a_{2},a_{3})\cdots (a_{n-1},a_{n})=(a_{1},a_{n})(a_{1},a_{n-1})\cdots (a_{1},a_{2}).}$

El número de transposiciones de la descomposición tampoco es único. Por ejemplo:

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})=}$

${\displaystyle (a_{n-1},a_{n})(a_{1},a_{n-1})(a_{n-1},a_{n})(a_{1},a_{n-1})(a_{1},a_{n-2})\cdots (a_{1},a_{2}).}$

Pero la paridad del número de transposiciones de la descomposición sí está determinada. Es decir, para cualquier par de descomposiciones distintas de ${\displaystyle \sigma }$ con n y con m transposiciones, respectivamente, n y m tienen la misma paridad (serán simultáneamente pares o impares).

Dada una permutación cualquiera, se define el siguiente homomorfismo de grupos:

${\displaystyle \varepsilon :S_{n}\to (\{-1,1\},\cdot )\approx (\mathbb {Z} _{2},+),\qquad \varepsilon (\sigma )=(-1)^{m},}$

donde ${\displaystyle \scriptstyle S_{n}}$ es el grupo simétrico de n elementos y m es un número entero, tal que existen transposiciones ${\displaystyle \scriptstyle \tau _{i}}$ tales que:

${\displaystyle \sigma =\tau _{1}\tau _{2}\dots \tau _{m}\in S_{n}.}$

Llamaremos permutación par (resp. impar) a la que se escribe como composición de un número par (resp. impar) de transposiciones.

Como ejemplo, dado el conjunto {1, 2, 3} de las 6=3! permutaciones posibles:

La permutación

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}}$

Escritas en notación de ciclos:

${\displaystyle (1)(2)(3)\equiv id}$

Las transposiciones: La identidad no tiene transposiciones. El número de transposiciones de id es 0(cero).

La permutación

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}}}$

Escritas en notación de ciclos:

${\displaystyle (1)(23)\equiv (23)}$

Las transposiciones:

${\displaystyle (23)\,}$

El número de transposiciones es :1.

La permutación

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}}$

Escritas en notación de ciclos:

${\displaystyle (12)(3)\equiv (12)}$

Las transposiciones:

${\displaystyle (12)\,}$

El número de transposiciones es :1.

La permutación

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}}$

Escritas en notación de ciclos:

${\displaystyle (123)\,}$

Las transposiciones:

${\displaystyle (12)(23)\,}$

El número de transposiciones es :2.

La permutación

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}}}$

Escritas en notación de ciclos:

${\displaystyle (132)\,}$

Las transposiciones:

${\displaystyle (13)(32)\,}$

El número de transposiciones es :2.

La permutación

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}}$

Escritas en notación de ciclos:

${\displaystyle (13)(2)\equiv (13)}$

Las transposiciones: La transposición es:

${\displaystyle (13)\,}$

El número de transposiciones es :1.

En general, se demuestra que la mitad de las n! permutaciones de un conjunto de n elementos son pares y la otra mitad impares. Esto surge como consecuencia directa de la existencia del morfismo ${\displaystyle \varepsilon :S_{n}\to (\{-1,1\},\cdot )}$ que tiene como núcleo justamente a las permutaciones pares.

Dado un número natural ${\displaystyle n\geq 1}$, consideramos el conjunto ${\displaystyle X=\{1,2,...,n\}}$. Definimos el grupo de permutaciones de ${\displaystyle n}$ elementos, que denotaremos por ${\displaystyle S_{n}}$, o lo que es lo mismo, el conjunto de aplicaciones biyectivas de ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle X}$.

Las permutaciones pares forman un subgrupo normal de índice 2 del grupo S_n, al que llamaremos grupo alternado, y notaremos por ${\displaystyle A_{n}}$.