Trigonometría racional

Supóngase que dos líneas, l₁ y l₂, se cruzan en el punto A como se muestra a la derecha. Elíjase un punto B ≠ A en l₁ tal que C sea el pie de la perpendicular desde B a l₂. En consecuencia, la extensión de s es[6]

${\displaystyle s(\ell _{1},\ell _{2})={\frac {Q(B,C)}{Q(A,B)}}={\frac {Q}{R}}.}$

Al igual que el ángulo, la extensión depende solo de las pendientes relativas de dos líneas (se eliminan los términos constantes) y es invariable bajo la traslación (es decir, se conserva cuando las líneas se mueven manteniéndose paralelas a sí mismas). Entonces, dadas dos rectas cuyas ecuaciones son

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y={\text{constant}}\qquad {\text{y}}\qquad a_{2}x+b_{2}y={\text{constant}}}$

se pueden reescribir como dos rectas que se encuentran en el origen (0, 0) con ecuaciones

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=0\qquad {\text{y}}\qquad a_{2}x+b_{2}y=0}$

En esta posición, el punto (−b₁, a₁) satisface la primera ecuación y (−b₂, a₂) satisface la segunda y los tres puntos (0, 0), (−b₁, a₁) y (−b₂, a₂) que forman la extensión darán tres cuadranzas:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}&=\left(b_{1}^{2}+a_{1}^{2}\right),\\Q_{2}&=\left(b_{2}^{2}+a_{2}^{2}\right),\\Q_{3}&=\left(b_{1}-b_{2}\right)^{2}+\left(a_{1}-a_{2}\right)^{2}\end{aligned}}}$

La ley cruzada -véase más adelante- en términos de extensión es

${\displaystyle 1-s={\frac {(Q_{1}+Q_{2}-Q_{3})^{2}}{4Q_{1}Q_{2}}}.}$

que se convierte en:

${\displaystyle 1-s={\frac {\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+b_{1}^{2}+b_{2}^{2}-(b_{1}-b_{2})^{2}-(a_{1}-a_{2})^{2}\right)^{2}}{4\left(a_{1}^{2}+b_{1}^{2}\right)\left(a_{2}^{2}+b_{2}^{2}\right)}}.}$

Esto se simplifica en el numerador a (2a₁a₂ + 2b₁b₂)², dando:

${\displaystyle 1-s={\frac {\left(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}\right)^{2}}{\left(a_{1}^{2}+b_{1}^{2}\right)\left(a_{2}^{2}+b_{2}^{2}\right)}}.}$

(Nota: 1 − s es la expresión del cruce, el cuadrado del coseno de cualquier ángulo entre un par de rectas o vectores, que da su nombre a la ley cruzada).

Luego, usando la identidad de Brahmagupta

${\displaystyle \left(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}\right)^{2}+\left(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}\right)^{2}=\left(a_{1}^{2}+b_{1}^{2}\right)\left(a_{2}^{2}+b_{2}^{2}\right),}$

la expresión estándar para la extensión en términos de pendientes (o direcciones) de dos líneas se convierte en

${\displaystyle s={\frac {\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)^{2}}{\left(a_{1}^{2}+b_{1}^{2}\right)\left(a_{2}^{2}+b_{2}^{2}\right)}}.}$

En esta forma (y en su equivalente cartesiano que se muestra a continuación) una extensión es la relación de cuadranzas según el determinante de dos vectores (numerador) y el producto de sus cuadranzas (denominador).

Esto reemplaza a (−b₁, a₁) con (x₁, y₁), (−b₂, a₂) con (x₂, y₂) y el origen (0, 0), como el punto de intersección de dos líneas, con (x₃, y₃) en el resultado anterior:

${\displaystyle s={\frac {{\bigl (}(y_{1}-y_{3})(x_{2}-x_{3})-(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3}){\bigr )}^{2}}{{\bigl (}(y_{1}-y_{3})^{2}+(x_{1}-x_{3})^{2}{\bigr )}{\bigl (}(y_{2}-y_{3})^{2}+(x_{2}-x_{3})^{2}{\bigr )}}}.}$

La extensión de dos rectas puede medirse en cuatro posiciones equivalentes.

A diferencia del ángulo, que puede definir una relación entre rayos que emanan de un punto, mediante una parametrización de la medida del arco, y donde un par de líneas se pueden considerar cuatro pares de rayos, formando cuatro ángulos, la extensión es fundamental en la trigonometría racional, que describe dos líneas mediante una sola medida de una función racional (véase arriba).[6] Equivale al cuadrado del seno del ángulo correspondiente θ (y al verseno de la base de la cuerda del ángulo doble Δ = 2θ), por lo que con esta notación la extensión de un ángulo y el propio ángulo son iguales.

La extensión no es proporcional, sin embargo, a la separación entre líneas como sería el ángulo; con extensiones de 0, 1/4, 1/2, 3/4 y 1 correspondientes a ángulos espaciados de forma desigual 0°, 30°, 45°, 60° y 90°.

En cambio, (recordando la propiedad suplementaria) dos extensiones iguales y de terminal común, determinan una tercera extensión, cuyo valor será una solución de la fórmula de la extensión triple para un triángulo (para tres rectas concurrentes) con extensiones s, s y r:

${\displaystyle {\begin{aligned}(2s+r)^{2}&=2\left(2s^{2}+r^{2}\right)+4s^{2}r\\4s^{2}+4sr+r^{2}&=4s^{2}+2r^{2}+4s^{2}r\end{aligned}}}$

dando el polinomio cuadrático (en s):

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}+4s^{2}r-4sr&=0\\r^{2}-4s(1-s)r&=0\end{aligned}}}$

y soluciones

${\displaystyle r=0\quad ({\text{trivial}})\qquad {\text{o}}\qquad r=4s(1-s)}$

Esto es equivalente a la identidad trigonométrica:

${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}(2\theta )=4\operatorname {sen} ^{2}\theta \left(1-\operatorname {sen} ^{2}\theta \right)}$

de los ángulos θ, θ y 180° − 2θ de un triángulo, usando

${\displaystyle S_{2}(s)=S_{2}\left(\operatorname {sen} ^{2}\theta \right)=\operatorname {sen} ^{2}(2\theta )=r(s)}$

para denotar un segundo polinomio extendido en s.

Encontrar el triple de una extensión también hace uso de la fórmula de la extensión triple como una ecuación cuadrática en la tercera extensión desconocida t tratando las extensiones conocidas s y r (de la solución anterior) como constantes. Resulta que (después de eliminar la solución 'más pequeña' s) se tiene:

${\displaystyle S_{3}(s)=s(3-4s)^{2}=t(s)}$

Se pueden generar múltiplos adicionales de cualquier extensión básica de líneas mediante el uso continuado de la fórmula de la extensión triple de esta manera, o mediante el uso de una fórmula de recursión (véase a continuación) que la aplica indirectamente. Mientras que cualquier extensión múltiple de una extensión que sea racional será polinomial en esa extensión (y, por lo tanto, racional), lo contrario no se aplica. Por ejemplo, con las identidades trigonométricas, dos líneas que se encuentran en un ángulo de 15° (o 165°) tienen una extensión de:

${\displaystyle \operatorname {hav} \left(30^{\circ }\right)=\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {30^{\circ }}{2}}\right)={\frac {1-\cos 30^{\circ }}{2}}={\frac {1-{\frac {\sqrt {3}}{2}}}{2}}={\frac {2-{\sqrt {3}}}{4}}\approx 0.0667.}$

y existe así por extensión algebraica de los números racionales.

• (Definiciones pendientes de completar)

• (Definiciones pendientes de completar)

• ${\displaystyle S_{n}(s)=s\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {n}{n-k}}{\binom {2n-1-k}{k}}(-4s)^{n-1-k}.}$ (Michael Hirschhorn, Shuxiang Goh) [1]
• ${\displaystyle S_{n}(s)={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{4}}\left(1-2s+2{\sqrt {s^{2}-s}}\right)^{n}-{\tfrac {1}{4}}\left(1-2s-2{\sqrt {s^{2}-s}}\right)^{n}.}$ (M. Hovdan)
• ${\displaystyle S_{n}(s)=-{\tfrac {1}{4}}\left(\left({\sqrt {1-s}}+i{\sqrt {s}}\right)^{2n}-1\right)^{2}\left({\sqrt {1-s}}-i{\sqrt {s}}\right)^{2n}.}$ (M. Hovdan)

De la definición, se sigue inmediatamente que

${\displaystyle S_{n}(s)=\operatorname {sen} ^{2}\left(n\arcsin \left({\sqrt {s}}\right)\right).}$

Dado que la fórmula de la extensión triple ${\displaystyle (s_{1}+s_{2}+s_{3})^{2}=2\left(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}\right)+4s_{1}s_{2}s_{3}}$ es una ecuación cuyas entradas se pueden extender a polinomios de la forma: ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle S_{n}(s)}$ y ${\displaystyle S_{n+1}(s)}$,

tomando la extensión de las expresiones

${\displaystyle (s+S_{n}(s)+S_{n+1}(s))^{2}=2\left(s^{2}+S_{n}(s)^{2}+S_{n+1}^{2}\right)+4sS_{n}(s)S_{n+1}}$ y

${\displaystyle (s+S_{n}(s)+S_{n-1}(s))^{2}=2\left(s^{2}+S_{n}(s)^{2}+S_{n-1}^{2}\right)+4sS_{n}(s)S_{n-1}}$

y reorganizando los términos, se obtiene una relación recursiva:

${\displaystyle S_{n+1}(s)=2(1-2s)S_{n}(s)-S_{n-1}(s)+2s.}$[1]

Los polinomios extendidos están relacionados con los polinomios de Chebyshov de primer tipo, T_n, por la identidad

${\displaystyle 1-2S_{n}(s)=T_{n}(1-2s).}$

Esto implica que[1]

${\displaystyle S_{n}(s)={\frac {1-T_{n}(1-2s)}{2}}=1-T_{n}^{2}\left({\sqrt {1-s}}\right).}$

La segunda igualdad anterior se deriva de la identidad

${\displaystyle 2T_{n}^{2}(x)-1=T_{2n}(x)}$

en los polinomios de Chebyshov.

Los polinomios extendidos satisfacen la composición identidad[1]

${\displaystyle S_{n}{\bigl (}S_{m}(s){\bigr )}=S_{nm}(s).}$

Cuando los coeficientes se consideran miembros de un cuerpo finito F_p, la secuencia {S_n}_{n = 0, 1, 2,...} de polinomios extendidos es periódica con el período p² − 1/2. En otras palabras, si k = p² − 1/2, entonces S_{n + k} = S_n, para todo n.

Cuando los coeficientes tomados son números reales, entonces para n ≠ m, se tiene que[1]

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(S_{n}(s)-{\tfrac {1}{2}}\right)\left(S_{m}(s)-{\tfrac {1}{2}}\right){\frac {ds}{\sqrt {s(1-s)}}}=0.}$

Para n = m, la integral es π/8 a menos que n = m = 0, en cuyo caso es π/4.

La función generadora ordinaria es

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }S_{n}(s)x^{n}={\frac {sx(1+x)}{(1-x)^{3}+4sx(1-x)}}.}$ (Michael Hirschhorn) [1]

La función generadora exponencial es

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {S_{n}(s)}{n!}}x^{n}={\tfrac {1}{2}}e^{x}\left(1-e^{-2sx}\cos \left(2x{\sqrt {s(1-s)}}\right)\right).}$^{[cita requerida]}

S_n(s) satisface la ecuación diferencial no homogénea lineal de segundo orden

${\displaystyle s(1-s)y''+\left({\tfrac {1}{2}}-s\right)y'+n^{2}\left(y-{\tfrac {1}{2}}\right)=0.}$

Los primeros polinomios extendidos son los siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}(s)&=0\\[10pt]S_{1}(s)&=s\\[10pt]S_{2}(s)&=4s-4s^{2}\\&=4s(1-s)\\[10pt]S_{3}(s)&=9s-24s^{2}+16s^{3}\\&=s(3-4s)^{2}\\[10pt]S_{4}(s)&=16s-80s^{2}+128s^{3}-64s^{4}\\&=16s(1-s)(1-2s)^{2}\\[10pt]S_{5}(s)&=25s-200s^{2}+560s^{3}-640s^{4}+256s^{5}\\&=s\left(5-20s+16s^{2}\right)^{2}\\[10pt]S_{6}(s)&=36s-420s^{2}+1792s^{3}-3456s^{4}+3072s^{5}-1024s^{6}\\&=4s(1-s)(1-4s)^{2}(3-4s)^{2}\\[10pt]S_{7}(s)&=49s-784s^{2}+4704s^{3}-13440s^{4}+19712s^{5}-14336s^{6}+4096s^{7}\\&=s\left(7-56s+112s^{2}-64s^{3}\right)^{2}\\[10pt]S_{8}(s)&=64s-1344s^{2}+10752s^{3}-42240s^{4}+90112s^{5}-106496s^{6}\\&{}\qquad +65536s^{7}-16384s^{8}\\&=64s(s-1)(1-2s)^{2}\left(1-8s+8s^{2}\right)^{2}\\[10pt]S_{9}(s)&=81s-2160s^{2}+22176s^{3}-114048s^{4}+329472s^{5}-559104s^{6}\\&{}\qquad +552960s^{7}-294912s^{8}+65536s^{9}\\&=s(-3+4s)^{2}\left(-3+36s-96s^{2}+64s^{3}\right)^{2}\\[10pt]S_{10}(s)&=100s-3300s^{2}+42240s^{3}-274560s^{4}+1025024s^{5}\\{}&\qquad -2329600s^{6}+3276800s^{7}-2785280s^{8}+1310720s^{9}-262144s^{10}\\&=4s(1-s)\left(5-20s+16s^{2}\right)^{2}\left(1-12s+16s^{2}\right)^{2}\\[10pt]S_{11}(s)&=121s-4840s^{2}+75504s^{3}-604032s^{4}+2818816s^{5}\\{}&\qquad -8200192s^{6}+15319040s^{7}-18382848s^{8}+13697024s^{9}-5767168s^{10}+1048576s^{11}\\&=s\left(11-220s+1232s^{2}-2816s^{3}+2816s^{4}-1024s^{5}\right)^{2}\end{aligned}}}$

Los tres puntos A₁, A₂, A₃ son colineales si y solo si:

${\displaystyle (Q_{1}+Q_{2}+Q_{3})^{2}=2\left(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}+Q_{3}^{2}\right)}$

donde Q₁, Q₂, Q₃ representan las cuadranzas entre A₁, A₂, A₃ respectivamente. Puede ser probado por geometría analítica (el medio preferido dentro de la trigonometría racional) o deducido de fórmula de Herón, usando la condición de colinealidad de que el triángulo formado por los tres puntos tiene área cero.

Demostración

Ilustración de la nomenclatura usada en la demostración. La línea AB tiene la forma general: ${\displaystyle ax+by+c=0}$ donde los parámetros (no únicos) a, b, c se pueden expresar en términos de las coordenadas de los puntos A y B como: ${\displaystyle {\begin{aligned}a&=A_{y}-B_{y}\\b&=B_{x}-A_{x}\\c&=A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}\end{aligned}}}$ para que, en cualquier parte de la recta: ${\displaystyle \left(A_{y}-B_{y}\right)x+\left(B_{x}-A_{x}\right)y+\left(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}\right)=0.}$ Pero la línea también se puede especificar mediante dos ecuaciones simultáneas en un parámetro t, donde t = 0 en el punto A y t = 1 en el punto B: ${\displaystyle {\begin{aligned}x&=(B_{x}-A_{x})t+A_{x},\\y&=(B_{y}-A_{y})t+A_{y},\end{aligned}}}$ o, en términos de los parámetros originales: ${\displaystyle {\begin{aligned}x&=bt+A_{x},\\y&=-at+A_{y}.\end{aligned}}}$ Si el punto C es colineal con los puntos A y B, existe algún valor de t (para puntos distintos, no igual a 0 o 1), denominado λ, para el que estas dos ecuaciones se satisfacen simultáneamente en las coordenadas del punto C, tal que: ${\displaystyle {\begin{aligned}C_{x}&=b\lambda +A_{x}.\\C_{y}&=-a\lambda +A_{y}.\end{aligned}}}$ Ahora, las cuadranzas de los tres segmentos de recta están dados por las diferencias de sus coordenadas al cuadrado, que se pueden expresar en términos de λ: ${\displaystyle {\begin{aligned}Q(AB)&\equiv (B_{x}-A_{x})^{2}+(B_{y}-A_{y})^{2}\\&=b^{2}+(-a)^{2}\\&=a^{2}+b^{2}\\[10pt]Q(BC)&\equiv (C_{x}-B_{x})^{2}+(C_{y}-B_{y})^{2}\\&={\bigl (}(b\lambda +A_{x})-B_{x}{\bigr )}^{2}+{\bigl (}(-a\lambda +A_{y})-B_{y}{\bigr )}^{2}\\&={\bigl (}b\lambda +(A_{x}-B_{x}){\bigr )}^{2}+{\bigl (}-a\lambda +(A_{y}-B_{y}){\bigr )}^{2}\\&={\bigl (}b\lambda +(-b){\bigr )}^{2}+(-a\lambda +a)^{2}\\&=b^{2}(\lambda -1)^{2}+a^{2}(-\lambda +1)^{2}\\&=b^{2}(\lambda -1)^{2}+a^{2}(\lambda -1)^{2}\\&=\left(a^{2}+b^{2}\right)(\lambda -1)^{2}\\[10pt]Q(AC)&\equiv (C_{x}-A_{x})^{2}+(C_{y}-A_{y})^{2}\\&={\bigl (}(b\lambda +A_{x})-A_{x}{\bigr )}^{2}+{\bigl (}(-a\lambda +A_{y})-A_{y}{\bigr )}^{2}\\&=(b\lambda +A_{x}-A_{x})^{2}+(-a\lambda +A_{y}-A_{y})^{2}\\&=(b\lambda )^{2}+(-a\lambda )^{2}\\&=b^{2}\lambda ^{2}+(-a)^{2}\lambda ^{2}\\&=b^{2}\lambda ^{2}+a^{2}\lambda ^{2}\\&=\left(a^{2}+b^{2}\right)\lambda ^{2}\end{aligned}}}$ donde se hizo uso del hecho de que (−λ + 1)2 = (λ − 1)2. Sustituyendo estas cuadranzas en la ecuación anterior: ${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}Q(AB)+Q(BC)+Q(AC){\bigr )}^{2}&=2\left(Q(AB)^{2}+Q(BC)^{2}+Q(AC)^{2}\right)\\\left(\left(a^{2}+b^{2}\right)+\left(a^{2}+b^{2}\right)(\lambda -1)^{2}+\left(a^{2}+b^{2}\right)\lambda ^{2}\right)^{2}&=2\left(\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}+\left(\left(a^{2}+b^{2}\right)(\lambda -1)^{2}\right)^{2}+\left(\left(a^{2}+b^{2}\right)\lambda ^{2}\right)^{2}\right)\\\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}\left(1+(\lambda -1)^{2}+\lambda ^{2}\right)^{2}&=2\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}\left(1+\left((\lambda -1)^{2}\right)^{2}+\left(\lambda ^{2}\right)^{2}\right)\end{aligned}}}$ Ahora, si A y B representan puntos distintos, tales como a2 + b2 ≠ 0, se pueden dividir ambos lados por Q(AB)2 = (a2 + b2)2: ${\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+\lambda ^{2}-2\lambda +1+\lambda ^{2}\right)^{2}&=2\left(1+\left(\lambda ^{2}-2\lambda +1\right)^{2}+\lambda ^{4}\right)\\\left(2\lambda ^{2}-2\lambda +2\right)^{2}&=2\left(1+\lambda ^{4}-2\lambda ^{3}+\lambda ^{2}-2\lambda ^{3}+4\lambda ^{2}-2\lambda +\lambda ^{2}-2\lambda +1+\lambda ^{4}\right)\\4\left(\lambda ^{2}-\lambda +1\right)^{2}&=2\left(2\lambda ^{4}-4\lambda ^{3}+6\lambda ^{2}-4\lambda +2\right)\\4\left(\lambda ^{4}-\lambda ^{3}+\lambda ^{2}-\lambda ^{3}+\lambda ^{2}-\lambda +\lambda ^{2}-\lambda +1\right)&=4\left(\lambda ^{4}-2\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}-2\lambda +1\right)\\\lambda ^{4}-2\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}-2\lambda +1&=\lambda ^{4}-2\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}-2\lambda +1\end{aligned}}}$

Las líneas A₁A₃ (de cuadranza Q₁) y A₂A₃ (de cuadranza Q₂) son perpendiculares (su dispersión es 1) si y solo si:

${\displaystyle Q_{1}+Q_{2}=Q_{3}.}$

donde Q₃ es la cuadranza entre A₁ y A₂.

Esto es equivalente al teorema de Pitágoras (y su inverso).

Hay muchas pruebas clásicas del teorema de Pitágoras; esta está enmarcada en los términos de la trigonometría racional.

La extensión de un ángulo es el cuadrado de su seno. Dado el triángulo △ABC con una extensión de 1 entre los lados AB y AC,

${\displaystyle Q(AB)+Q(AC)=Q(BC)}$

donde Q es la cuadranza, es decir, el cuadrado de la distancia.

Demostración

Ilustración de la nomenclatura usada en la demostración. Se construye una recta AD dividiendo la extensión de 1, con el punto D en la línea BC, y haciendo una extensión de 1 con DB y DC. Los triángulos △ABC, △DBA y △DAC son similares (tienen las mismas extensiones pero no las mismas cuadranzas). Esto lleva a dos ecuaciones proporcionales, basadas en las extensiones de los lados del triángulo: ${\displaystyle {\begin{aligned}s_{C}&={\frac {Q(AB)}{Q(BC)}}&&={\frac {Q(BD)}{Q(AB)}}&&={\frac {Q(AD)}{Q(AC)}}.\\s_{B}&={\frac {Q(AC)}{Q(BC)}}&&={\frac {Q(DC)}{Q(AC)}}&&={\frac {Q(AD)}{Q(AB)}}.\end{aligned}}}$ Ahora, en general, las dos extensiones resultantes de dividir una extensión en dos partes, como lo hace la recta AD para extender CAB, no se suman a la extensión original, ya que la extensión no es una función lineal. Así que primero hay que probar que dividiendo una extensión de 1, resulta en dos extensiones que se suman a la extensión original de 1. Para mayor comodidad, pero sin pérdida de generalidad, se orientan las líneas que se cruzan con una extensión de 1 a los ejes de coordenadas, y se etiqueta la línea divisoria con las coordenadas (x1, y1) y (x2, y2). Entonces las dos extensiones están dadas por: ${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}&={\frac {(x_{2}-x_{2})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}&&={\frac {(y_{2}-y_{1})^{2}}{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},\\s_{2}&={\frac {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{2})^{2}}{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}&&={\frac {(x_{2}-x_{1})^{2}}{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.\end{aligned}}}$ Por lo tanto ${\displaystyle s_{1}+s_{2}={\frac {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}=1,}$ así que eso ${\displaystyle s_{C}+s_{B}=1.}$ Usando las primeras dos relaciones del primer conjunto de ecuaciones, esto puede ser reescrito como: ${\displaystyle {\frac {Q(AB)}{Q(BC)}}+{\frac {Q(AC)}{Q(BC)}}=1.}$ Multiplicando ambos lados por Q(BC): ${\displaystyle Q(AB)+Q(AC)=Q(BC).}$ QED

Para cualquier triángulo △A₁A₂A₃ con cuadranzas distintas de cero:[1]

${\displaystyle {\frac {s_{1}}{Q_{1}}}={\frac {s_{2}}{Q_{2}}}={\frac {s_{3}}{Q_{3}}}.}$

Este es el teorema de los senos, pero en cuadranzas.

Para cualquier triángulo △A₁A₂A₃,[1]

${\displaystyle (Q_{1}+Q_{2}-Q_{3})^{2}=4Q_{1}Q_{2}(1-s_{3}).}$

Esto es análogo al teorema del coseno. Se llama ley cruzada porque (1 − s₃), el cuadrado del coseno del ángulo, se llama cruce.

Para cualquier triángulo △A₁A₂A₃,[1]

${\displaystyle (s_{1}+s_{2}+s_{3})^{2}=2\left(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}\right)+4s_{1}s_{2}s_{3}.}$

Esta relación se puede derivar de la fórmula del seno de un ángulo compuesto: en un triángulo (cuyos tres ángulos suman 180°) se tiene que

${\displaystyle \operatorname {sen}(a)=\operatorname {sen}(b+c)=\operatorname {sen}(b)\cos(c)+\operatorname {sen}(c)\cos(b)}$.

Equivalentemente, describe la relación entre las extensiones de tres líneas concurrentes, ya que la extensión (como el ángulo) no se ve afectada cuando los lados de un triángulo se mueven paralelos a sí mismos para encontrarse en un punto común.

Conocer dos extensiones permite que la tercera se calcule resolviendo la fórmula cuadrática asociada, pero, dado que son posibles dos soluciones, se deben usar otras reglas de distribución de triángulos para seleccionar la adecuada. (La complejidad relativa de este proceso contrasta con el método mucho más simple de obtener un ángulo suplementario de otros dos).

La figura (derecha) muestra un triángulo de tres de estas rectas en el campo finito que establece F₁₃ × F₁₃:

Cada línea tiene su propio símbolo y las intersecciones de las líneas (vértices) están marcadas por dos símbolos presentes en los puntos:

Un triángulo con vértices en los puntos (2, 8), (9, 9), y (10, 0) del campo finito-plano F₁₃ × F₁₃.

(2, 8), (9, 9) y (10, 0).

Utilizando el teorema de Pitágoras con la aritmética de módulo 13, se tiene que estos lados tienen cuadranzas de:

(9 - 2) ² + (9 - 8) ² = 50 ≡ 11 mod 13

(9 - 10) ² + (9 - 0) ² = 82 ≡ 4 mod 13

(10 - 2) ² + (0 - 8) ² = 128 ≡ 11 mod 13

Reordenando la ley cruzada como

${\displaystyle s_{3}=1-{\frac {(Q_{1}+Q_{2}-Q_{3})^{2}}{4Q_{1}Q_{2}}}}$

resultan expresiones separadas para cada extensión, en términos de las tres cuadranzas:

1 - (4 + 11 − 11)²/4 × 4 × 11 = 1 - 3/7 ≡ 8 mod 13

1 - (11 + 11 − 4)²/4 × 11 × 11 = 1 - 12/3 ≡ 10 mod 13

1 - (4 + 11 − 11)²/4 × 4 × 11 = 1 - 3/7 ≡ 8 mod 13

A su vez, se observa que estas relaciones son todas iguales, según la ley de extensión (al menos en mod 13):

8/11: 10/4: 8/11

Dado que la primera y la última relación coinciden (haciendo que el triángulo sea isósceles) simplemente se realiza la multiplicación cruzada, y se toman las extensiones, para mostrar la igualdad con la proporción media también:

11 × 10 - 8 × 4 = 78 ≡ 0 mod 13

De lo contrario, se considera que el plano euclídeo estándar consiste únicamente en puntos racionales, ℚ × ℚ, omitiendo los números no algebraicos como soluciones. Las propiedades como la incidencia de objetos, que representan las soluciones o el contenido de los teoremas geométricos, por lo tanto, siguen un enfoque teórico numérico que difiere y es más restrictivo que el que permiten los números reales. Por ejemplo, se considera que no todas las rectas que pasan por el centro de un círculo coinciden con el círculo en su circunferencia. Para ser incidentes, tales rectas deben ser de la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}ax+by&=0\\a^{2}+b^{2}&=c^{2}\end{aligned}}\quad a,b,c\in \mathbb {Q} }$

y cumplir necesariamente con la circunferencia en un punto racional.